中册 6.4 幂级数 第16题
📝 题目
16．求下列函数在 $x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$ 得
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}=-\frac{x-1+2}{x-1}=-1-\frac{2}{x-1}=-1+2 \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, x \in(-1,1)$ ．
（2）$\displaystyle \frac{x}{1+x-2 x^{2}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+2 x}\right)=\frac{1}{3}\left[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(2 x)^{n}\right]=\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty}\left[1-(-2)^{n}\right] x^{n}, x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}=\frac{x}{(1-x)^{2}(1+x)}=\frac{1}{2(1-x)^{2}}-\frac{1}{2\left(1-x^{2}\right)}$ ．
由 $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$ 得
$$
\frac{1}{(1-x)^{2}}=\left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n} .
$$
又 $\displaystyle \frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}$ ，进而
$$
f(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{n}{2}+\frac{1-(-1)^{n}}{4}\right] x^{n},|x|<1 .
$$
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{x}{2}}$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) x^{n}, x \in(-1,1) .
$$
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1-x}{(1-x)(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}=\frac{1-x}{1-x^{8}}=\frac{1}{1-x^{8}}-\frac{x}{1-x^{8}}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{8 n}-x \sum_{n=0}^{\infty} x^{8 n}$
$$
=1-x+x^{8}-x^{9}+x^{16}-x^{17}+\cdots,|x|<1 .
$$
（6） $\displaystyle \int_{0}^{x} \frac{1}{(1+t)^{2}} \mathrm{~d} t=1-\frac{1}{1+x}=1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}, x \in(-1,1)$ ．
于是 $\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=\left[1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}\right]^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1}, x \in(-1,1)$ ．
同理得 $\displaystyle \frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}, x \in(-1,1)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用已知幂级数展开式
已知 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$，$|x|<1$。
公式：\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n
提示：注意收敛域为 $|x|<1$。
步骤 2/4
目标：化简函数形式
（1）$f(x) = -\frac{x+1}{x-1} = -\frac{x-1+2}{x-1} = -1 - \frac{2}{x-1} = -1 + 2 \cdot \frac{1}{1-x}$。
（2）$f(x) = \frac{x}{1+x-2x^2} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+2x}\right)$。
（3）$f(x) = \frac{x}{(1-x)(1-x^2)} = \frac{x}{(1-x)^2(1+x)} = \frac{1}{2(1-x)^2} - \frac{1}{2(1-x^2)}$。
（4）$f(x) = \frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$。
（5）$f(x) = \frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)} = \frac{1-x}{1-x^8} = \frac{1}{1-x^8} - \frac{x}{1-x^8}$。
（6）$f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ 或 $\frac{1}{(1-x)^2}$。
提示：注意部分分式分解的正确性，特别是符号和系数。
步骤 3/4
目标：代入幂级数展开
（1）$f(x) = -1 + 2\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2x^n - 1$，但注意常数项：当 $n=0$ 时，$2x^0=2$，减去1得1，所以 $f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty} 2x^n$。
（2）$f(x) = \frac{1}{3}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2x)^n\right) = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} [1-(-2)^n] x^n$。
（3）由 $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$，$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$，得 $f(x) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{n}{2} + \frac{1-(-1)^n}{4}\right] x^n$。
（4）$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n$。
（5）$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{8n} - x\sum_{n=0}^{\infty} x^{8n} = 1 - x + x^8 - x^9 + x^{16} - x^{17} + \cdots$。
（6）先积分：$\int_0^x \frac{1}{(1+t)^2} dt = 1 - \frac{1}{1+x} = 1 - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$，再求导得 $\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} n x^{n-1}$。类似地，$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$。
公式：\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n
提示：注意（1）中常数项的处理；注意（3）中合并奇偶项；注意（5）中只有8的倍数次幂；注意（6）中积分求导法的使用。
步骤 4/4
目标：确定收敛域
（1）$|x|<1$。
（2）$|x|<\frac{1}{2}$。
（3）$|x|<1$。
（4）$|x|<1$。
（5）$|x|<1$。
（6）$|x|<1$。
提示：收敛域由展开式中分母的零点决定，注意取交集。
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