中册 6.4 幂级数 第17题

\section*{解题过程：} （1）因 $\displaystyle (\arcsin x)^{\prime}=\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ ，且 $$ \left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) \cdots\left(-\frac{1}{2}-n+1\right) \frac{1}{n!}(-1)^{n} x^{2 n}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{2 n} . $$ 所以 $$ f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{2}}}=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} t^{2 n} \mathrm{~d} t=x-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!} x^{2 n+1}, x \in \mathbf{R} . $$ （2）因 $\displaystyle (\arccos x)^{\prime}=-\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ ，且 $$ \left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) \cdots\left(-\frac{1}{2}-n+1\right) \frac{1}{n!}(-1)^{n} x^{2 n}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{2 n} . $$ 从而 $\displaystyle f(x)=x \arccos x=-x \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{2}}}=-x \int_{0}^{x} \mathrm{~d} t-x \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} t^{2 n} \mathrm{~d} t=-x^{2}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!} x^{2 n+2}, x \in \mathbf{R}$ ． 由幂级数的展开式的唯一性得 $\displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-\frac{(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!}$ ，所以 $\displaystyle f^{(n)}(0)=-\frac{n!(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!}$ ． （3）由于 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n}, x \in[-1,1)$ ，所以 $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}=\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{2}}}=\frac{x}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!(x)^{n}}{(2 n)!!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{2^{n} \sqrt{2}(2 n)!!} x^{n+1}, $$ 其收敛域为 $[-2,2)$ ． （4）由于 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n}, x \in[-1,1)$ ，所以当 $x \in[-1,1)$ 时， $\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}=\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}$ $$ \begin{aligned} & =1-\frac{3}{2}\left(-x^{2}\right)+\frac{1}{2!}\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}-1\right)\left(-x^{2}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}-1\right) \cdots\left(-\frac{3}{2}-n+1\right)\left(-x^{2}\right)^{n}+\cdots \\ & =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{2^{n} n!} x^{2 n} . \end{aligned} $$ （5）$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ． 由于 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n}$ ，故 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{2 n}, x \in[-1,1]$ ． 于是 $$ \begin{aligned} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) & =\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 n-1)!!}{2 n!!} t^{2 n}\right] \mathrm{d} t . \\ & =x+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!(2 n+1)} x^{2 n+1}, x \in[-1,1] \end{aligned} $$ （6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)=x \ln \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+x}=-x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)$ ．由（5）得 $$ f(x)=-x^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!} x^{2 n+2}, x \in[-1,1] $$