中册 6.4 幂级数 第18题
📝 题目
18．求下列函数在 $x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle \cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n)!}$ 得 $\displaystyle \frac{1-\cos t}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n-1}}{(2 n)!}$ ，从而 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n-1}}{(2 n)!} \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n-1}}{(2 n)!} \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n}}{2 n(2 n)!}, x \in \mathbf{R}$ ．
（2）由于 $\displaystyle \sin t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{t^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ ，从而 $\displaystyle \frac{\sin t}{t}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{t^{2 n-2}}{(2 n-1)!}$ 。于是
$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{t^{2 n-2}}{(2 n-1)!} \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x}(-1)^{n+1} \frac{t^{2 n-2}}{(2 n-1)!} \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)(2 n-1)!}$.
（3）因为 $\displaystyle \cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n)!}$ ，从而 $\displaystyle \cos t^{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} t^{4 n}$ 。于是
$$
f(x)=\int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} t^{4 n}\right] \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1-3^{2 n}}{(2 n)!(4 n+1)} x^{4 n+1}, x \in(-\infty,+\infty) .
$$
（4）由于 $\displaystyle \cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n)!}$ ，从而 $\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x)^{2 n}}{(2 n)!}$ ．
（5）由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 得 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} t^{2 n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) n!} x^{2 n+1}, x \in(-\infty,+\infty)$
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：展开被积函数为幂级数
利用余弦函数的泰勒展开：$\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}$，则 $1-\cos t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^{2n}}{(2n)!}$，除以 $t$ 得 $\frac{1-\cos t}{t} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^{2n-1}}{(2n)!}$。
公式：\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}
提示：注意 $1-\cos t$ 的展开从 $n=1$ 开始，因为 $\cos t$ 的常数项被抵消。
步骤 2/10
目标：逐项积分
将展开式逐项积分：$f(x) = \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^{2n-1}}{(2n)!} \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n)!} \int_0^x t^{2n-1} \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{2n(2n)!}$。
公式：\int_0^x t^{m} \mathrm{d}t = \frac{x^{m+1}}{m+1}
提示：积分时注意幂次加1，分母相应变化。
步骤 3/10
目标：确定收敛域
该幂级数对所有实数 $x$ 收敛，因为原被积函数在 $t=0$ 处可去奇点，且展开式在整个实轴上一致收敛。因此收敛域为 $\mathbb{R}$。
提示：注意 $x=0$ 时级数显然为0。
步骤 4/10
目标：展开被积函数为幂级数（第二题）
利用正弦函数的泰勒展开：$\sin t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!}$，则 $\frac{\sin t}{t} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{t^{2n-2}}{(2n-1)!}$。
公式：\sin t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{t^{2n-1}}{(2n-1)!}
提示：注意 $\sin t$ 展开从 $n=1$ 开始，且 $\frac{\sin t}{t}$ 在 $t=0$ 处值为1。
步骤 5/10
目标：逐项积分（第二题）
逐项积分：$f(x) = \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{t^{2n-2}}{(2n-1)!} \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n-1)!} \int_0^x t^{2n-2} \mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$。
公式：\int_0^x t^{m} \mathrm{d}t = \frac{x^{m+1}}{m+1}
提示：注意积分后幂次为 $2n-1$，分母有 $(2n-1)$ 因子。
步骤 6/10
目标：展开被积函数为幂级数（第三题）
利用余弦展开：$\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}$，令 $t = t^2$ 得 $\cos t^2 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{4n}}{(2n)!}$。
公式：\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!}
提示：注意将 $t$ 替换为 $t^2$ 后，幂次变为 $4n$。
步骤 7/10
目标：逐项积分（第三题）
逐项积分：$f(x) = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{4n}}{(2n)!} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n)!} \int_0^x t^{4n} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$。
公式：\int_0^x t^{m} \mathrm{d}t = \frac{x^{m+1}}{m+1}
提示：积分后幂次为 $4n+1$，分母有 $(4n+1)$ 因子。
步骤 8/10
目标：利用三角恒等式展开（第四题）
利用倍角公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$。再将 $\cos 2x$ 展开：$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$，代入得 $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} x^{2n}}{(2n)!}$。
公式：\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}, \quad \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}
提示：注意 $\cos 2x$ 展开中 $x$ 的系数为 $2$，幂次为 $2n$。
步骤 9/10
目标：展开被积函数为幂级数（第五题）
利用指数函数展开：$\mathrm{e}^{-t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^{2n}$。
公式：\mathrm{e}^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}
提示：注意将 $u=-t^2$ 代入，得到 $t^{2n}$ 项。
步骤 10/10
目标：逐项积分（第五题）
逐项积分：$f(x) = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} t^{2n} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^x t^{2n} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1}$。
公式：\int_0^x t^{m} \mathrm{d}t = \frac{x^{m+1}}{m+1}
提示：积分后幂次为 $2n+1$，分母有 $(2n+1)$ 因子。
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