中册 6.4 幂级数 第19题

\section*{解题过程：} （1）因为 $\displaystyle \sin t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ ，从而 $\displaystyle \sin t^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{4 n-2}}{(2 n-1)!}$ ．于是 $$ f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1)!} \int_{0}^{x} t^{4 n-2} \mathrm{~d} t=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{(4 n-1)(2 n-1)!} x^{4 n-1},|x|<+\infty . $$ 由系数的唯一性得 $\displaystyle f^{(10)}(0)=0 ; \frac{1}{11!} f^{(11)}(0)=-\frac{1}{11 \cdot 6!}$ ，即 $f^{(11)}(0)=-5040$ ． （2）因为 $\displaystyle \cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n)!}$ ，所以 $\displaystyle t \cos t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{(2 n)!}$ ，从而 $$ f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(2 n)!} \int_{0}^{x} t^{2 n+1} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(2 n+2)(2 n)!} x^{2 n+2} $$ 由系数的唯一性有 $\displaystyle \frac{1}{2005!} f^{(2005)}(0)=0$ ，于是 $f^{(2005)}(0)=0$ ． （3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \left[2\left(x^{2}+1\right)\right]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\cos 2 x^{2} \cos 2-\sin 2 x^{2} \sin 2\right)$ ． 由 $\displaystyle \cos x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k)!} x^{2 k}, \sin x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1)!} x^{2 k+1}$ 得 $$ f(x)=\sin ^{2} 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} \cos 2}{2 \cdot(2 k)!} 2^{2 k} x^{4 k}+\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \sin 2}{2 \cdot(2 k+1)!} 2^{2 k+1} x^{4 k+2} $$ 从而 $$ \begin{aligned} & f(0)=\sin ^{2} 1, f^{(2 k+1)}(0)=0,(k=0,1,2, \cdots), \\ & f^{(4 k)}(0)=\frac{(-1)^{k+1} \cos 2}{2 \cdot(2 k)!} 2^{2 k} \cdot(4 k)!,(k=1,2, \cdots), \\ & f^{(4 k+2)}(0)=\frac{(-1)^{k} \sin 2}{2 \cdot(2 k+1)!} 2^{2 k+1} \cdot(4 k+2)!,(k=0,1,2, \cdots) . \end{aligned} $$