中册 6.4 幂级数 第20题
📝 题目
20．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 得 $\displaystyle f(x)=2^{x}=\mathrm{e}^{x \ln 2}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln 2)^{n}}{n!} x^{n}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（2）由于
$$
\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{1}{2!} x^{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, x \in(-\infty,+\infty), \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, x \in(-1,1) .
$$
所以
$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1-x}=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) x^{n}, x \in(-1,1) .
$$
由幂级数展开式的唯一性，$\displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ ，所以 $\displaystyle f^{(n)}(0)=\frac{n!}{2} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ 。
（3）由 $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}, x \in(-1,1)$ 得
$$
g(x)=\frac{f(x)}{1-x}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right) x^{n}, x \in(-1,1) .
$$
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t=\mathrm{e}^{x^{2}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n} \cdot \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} t^{2 n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) n!} x^{2 n+1}$
$$
=x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) n!} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{2 n+1} \text {, 其中 } c_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(n-k)!} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) k!} \text {. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将2^x写成指数形式并展开
利用恒等式 $2^x = e^{x \ln 2}$，然后使用指数函数的麦克劳林展开式 $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$，其中 $u = x \ln 2$，得到 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln 2)^n}{n!} x^n$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$
提示：注意 $\ln 2$ 是常数，展开时不要遗漏 $n=0$ 项（即常数项1）。
步骤 2/8
目标：将f(x)分解为两个级数乘积
首先化简 $f(x) = \frac{e^x}{2-2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^x}{1-x}$。然后分别展开 $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ 和 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$（$|x|<1$），相乘得到 $f(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right)$。
公式：$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$，$|x|<1$
提示：注意 $\frac{1}{2-2x}$ 要写成 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x}$，不要直接展开 $\frac{1}{2-2x}$。
步骤 3/8
目标：计算乘积的系数
两个幂级数相乘，$x^n$ 的系数为 $\frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot 1 = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$。因此 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) x^n$，收敛域为 $(-1,1)$。
公式：级数乘积：$(\sum a_n x^n)(\sum b_n x^n) = \sum (\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}) x^n$
提示：注意求和指标 $k$ 从0到 $n$，不要遗漏 $k=0$ 项（$1/0! = 1$）。
步骤 4/8
目标：由展开式求f^{(n)}(0)
由麦克劳林展开式的唯一性，$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$，比较系数得 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$，所以 $f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$。
公式：$f^{(n)}(0) = n! \cdot [x^n] f(x)$
提示：注意系数对应关系：$a_n = f^{(n)}(0)/n!$，不要混淆。
步骤 5/8
目标：展开g(x)为级数乘积
已知 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，且 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$（$|x|<1$），则 $g(x) = \frac{f(x)}{1-x} = \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k \right) x^n$，收敛域为 $(-1,1)$。
公式：级数乘积公式
提示：注意 $g(x)$ 的系数是 $a_0 + a_1 + \cdots + a_n$，不要写成 $a_n$ 的简单形式。
步骤 6/8
目标：化简f(x)的积分表达式
将 $f(x) = \int_0^x e^{x^2 - t^2} dt$ 中的 $e^{x^2}$ 提出积分号：$f(x) = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} dt$。
公式：积分性质：$\int_a^b e^{c} dt = e^{c} \int_a^b dt$ 当 $c$ 与 $t$ 无关
提示：注意 $e^{x^2 - t^2} = e^{x^2} e^{-t^2}$，$e^{x^2}$ 对 $t$ 是常数，可以提出。
步骤 7/8
目标：将e^{x^2}和e^{-t^2}展开为幂级数
利用 $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$，有 $e^{x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!}$，$e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!}$。代入得 $f(x) = \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!} \right) \int_0^x \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \right) dt$。
公式：$e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$
提示：注意 $e^{-t^2}$ 展开时，$(-t^2)^n = (-1)^n t^{2n}$，不要漏掉负号。
步骤 8/8
目标：逐项积分并合并级数
先对 $t$ 积分：$\int_0^x t^{2n} dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，所以 $\int_0^x e^{-t^2} dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$。然后与 $e^{x^2}$ 的级数相乘：$f(x) = \left( \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{2m}}{m!} \right) \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)n!} x^{2n+1} \right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^{2k+1}$，其中 $c_k = \sum_{i=0}^k \frac{1}{(k-i)!} \cdot \frac{(-1)^i}{(2i+1)i!}$。
公式：幂级数乘法与积分
提示：合并时注意指数：$x^{2m} \cdot x^{2n+1} = x^{2(m+n)+1}$，令 $k=m+n$，则 $c_k = \sum_{i=0}^k \frac{1}{(k-i)!} \cdot \frac{(-1)^i}{(2i+1)i!}$。
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