中册 6.4 幂级数 第23题
📝 题目
23．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}, x \in(-1,1]$ 得
（1）$f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right)=\ln x+\ln (4-x)=\ln [1+(x-1)]+\ln [3-(x-1)]$
$$
\begin{aligned}
& =\ln [1+(x-1)]+\ln 3+\ln \left(1-\frac{x-1}{3}\right)=\ln 3+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}(x-1)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{3^{n} n} \\
& =\ln 3+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1}{3^{n} n}\right](x-1)^{n}, x \in(0,2]
\end{aligned}
$$
（2） $\displaystyle \ln x=\ln [2+(x-2)]=\ln 2+\ln \left(1+\frac{x-2}{2}\right)=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^{n}}(x-2)^{n}, 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将函数变形为可展开形式
对于(1)，$f(x)=\ln(4x-x^2)=\ln x+\ln(4-x)$。在$x=1$处展开，令$t=x-1$，则$x=1+t$，$4-x=3-t$，所以$f(x)=\ln(1+t)+\ln(3-t)=\ln(1+t)+\ln 3+\ln\left(1-\frac{t}{3}\right)$。
公式：$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
提示：注意定义域：$4x-x^2>0$，即$x\in(0,4)$，展开后收敛区间需考虑。
步骤 2/7
目标：应用对数展开公式
利用$\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}$，$u\in(-1,1]$，有$\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$，$\ln\left(1-\frac{t}{3}\right)=\sum_{n=1}^\infty -\frac{(t/3)^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty -\frac{t^n}{3^n n}$。
公式：$\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}$
提示：注意第二个展开是$\ln(1-u)$形式，符号为负。
步骤 3/7
目标：合并幂级数
将两个级数相加：$f(x)=\ln 3+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}+\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{3^n n}=\ln 3+\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\frac{1}{3^n n}\right]t^n$，其中$t=x-1$。收敛域由$|t|<1$和$|t/3|<1$得$|t|<1$，且端点$x=0$处$\ln(1+t)$收敛，$x=2$处$\ln(1-t/3)$收敛，故$x\in(0,2]$。
提示：合并时注意系数符号，$(-1)^{n-1}$不要写成$(-1)^n$。
步骤 4/7
目标：展开(2)中的对数函数
对于(2)，$f(x)=\ln x$在$x=2$处展开。令$t=x-2$，则$x=2+t$，$\ln x=\ln(2+t)=\ln 2+\ln\left(1+\frac{t}{2}\right)$。利用$\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}$，得$\ln\left(1+\frac{t}{2}\right)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{2^n n}$。所以$\ln x=\ln 2+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n n}(x-2)^n$，收敛域$|x-2|<2$即$0
公式：$\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{u^n}{n}$
提示：注意$\ln(2+t)$中$t/2$的范围，$|t/2|<1$即$|t|<2$，端点$x=0$时$\ln(1-1)$收敛，$x=4$时$\ln(1+1)$收敛。
步骤 5/7
目标：展开(3)中的对数部分
对于(3)，$f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}$在$x=1$处展开。令$t=x-1$，则$x=1+t$，$\ln x=\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$，$|t|<1$。
公式：$\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$
提示：注意$\ln x$展开时$x>0$，$t>-1$。
步骤 6/7
目标：展开(3)中的分式部分
对于$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{3+t}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{t}{3}}$。利用$\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n$，$|u|<1$，得$\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac{t}{3}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} t^n$。
公式：$\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n$
提示：注意$n$从0开始，且系数分母有$3^{n+1}$。
步骤 7/7
目标：合并(3)的幂级数
将两部分相加：$f(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} t^n$。将第二个级数写成从$n=1$开始：$\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} t^n$。合并得$f(x)=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\frac{(-1)^n}{3^{n+1}}\right] t^n$。注意$\frac{1}{3}$是常数项，但原题答案中未包含常数项，可能因为展开式通常从$n=1$开始？实际上$\frac{1}{3}$对应$n=0$项，但题目要求幂级数展开，常数项应保留。收敛域由$|t|<1$和$|t/3|<1$得$|t|<1$，且端点$x=0$时$\ln(1-1)$收敛，$\frac{1}{1+1}$收敛，$x=2$时$\ln(1+1)$收敛，$\frac{1}{3+1}$收敛，故$x\in(0,2]$。
提示：合并时注意$n$的起始，以及$(-1)^{n-1}$与$(-1)^n$的符号关系。
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