中册 6.4 幂级数 第24题
📝 题目
24．将下列函数展开为幂级数，并指出收玫域．
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}=\frac{x}{1-x} \frac{1}{1-\frac{x}{1-x}}=\frac{x}{1-2 x}=x \sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n+1},|x|<\frac{1}{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}=\frac{x(2 x-1)}{1-x(2 x-1)}=-1-\frac{1}{(2 x+1)(x-1)}=-1-\frac{1}{3} \frac{1}{x-1}+\frac{1}{3} \frac{2}{2 x+1}$
$$
=-1+\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}+\frac{2}{3} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 2^{n} x^{n}=-1+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n} 2^{n+1}}{3} x^{n},|x|<\frac{1}{2} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将级数化为等比级数形式
对于(1)，令 $t = \frac{x}{1-x}$，则 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} t^n$。这是一个等比级数，公比为 $t$，首项为 $t$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} t^n = \frac{t}{1-t}$ 当 $|t|<1$
提示：注意等比级数求和公式中首项是 $t$ 而不是 $1$，因为 $n$ 从 $1$ 开始。
步骤 2/7
目标：求和函数并化简
由等比级数求和得 $f(x) = \frac{t}{1-t} = \frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}} = \frac{x}{1-2x}$。
提示：化简时注意分母 $1-\frac{x}{1-x} = \frac{1-2x}{1-x}$，因此 $\frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{1-2x} = \frac{x}{1-2x}$。
步骤 3/7
目标：将和函数展开为幂级数
将 $\frac{x}{1-2x}$ 展开：$\frac{x}{1-2x} = x \cdot \frac{1}{1-2x} = x \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^{n+1}$，其中 $|2x|<1$ 即 $|x|<\frac{1}{2}$。
公式：$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$ 当 $|u|<1$
提示：注意 $x$ 因子在求和号外，展开后指数为 $n+1$，收敛域由 $|2x|<1$ 确定。
步骤 4/7
目标：处理第二题：求和函数
对于(2)，$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n (2x-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} [x(2x-1)]^n$。令 $t = x(2x-1)$，则 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} t^n = \frac{t}{1-t} = \frac{x(2x-1)}{1-x(2x-1)}$，其中 $|t|<1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} t^n = \frac{t}{1-t}$
提示：注意 $t = x(2x-1)$，不要混淆 $x$ 与 $t$。
步骤 5/7
目标：化简和函数表达式
化简分母：$1 - x(2x-1) = 1 - 2x^2 + x = -2x^2 + x + 1$。因此 $f(x) = \frac{2x^2 - x}{-2x^2 + x + 1}$。进一步分解为部分分式：$f(x) = -1 - \frac{1}{(2x+1)(x-1)}$。
提示：部分分式分解时注意符号，可先做多项式除法：$\frac{2x^2 - x}{-2x^2 + x + 1} = -1 + \frac{1}{-2x^2 + x + 1}$，再分解分母。
步骤 6/7
目标：将部分分式展开为幂级数
将 $\frac{1}{(2x+1)(x-1)}$ 分解为 $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{2}{2x+1}\right)$。于是 $f(x) = -1 - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{2}{2x+1}\right) = -1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-x} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+2x}$。
提示：注意 $\frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1-x}$，$\frac{1}{2x+1} = \frac{1}{1+2x}$，展开时需调整符号。
步骤 7/7
目标：分别展开为幂级数并合并
利用 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$（$|x|<1$）和 $\frac{1}{1+2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^n x^n$（$|2x|<1$ 即 $|x|<\frac{1}{2}$）。代入得 $f(x) = -1 + \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} x^n + \frac{2}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n 2^n x^n = -1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 + (-1)^n 2^{n+1}}{3} x^n$，收敛域为 $|x|<\frac{1}{2}$。
公式：$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$
提示：合并时注意常数项：当 $n=0$ 时，$\frac{1+2}{3}=1$，加上 $-1$ 得 $0$，所以级数从 $n=1$ 开始也可，但答案通常写为从 $n=0$ 开始。
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