中册 6.4 幂级数 第25题
📝 题目
25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}$ 的收玫域及其和函数 $S(x)$ ，再将 $S(x)$ 展开成 $(x-2)$ 的幂级数，并求展开后所得幂级数的收玫半径和收玫区间．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1}$ 的收敛域为 $(-1,1)$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},|x|<1$ ，所以
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{\left(1-\frac{x}{3}\right)^{2}}=\frac{9}{(3-x)^{2}},|x|<3 .
$$
由于 $\displaystyle \frac{1}{(1-t)^{2}}=1+2 t+3 t^{2}+\cdots+n t^{n-1}+\cdots$ ，所以
$$
S(x)=\frac{9}{(3-x)^{2}}=\frac{9}{[1-(x-2)]^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} 9 n(x-2)^{n-1},|x-2|<1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别级数类型并确定收敛域
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}$。令 $t = \frac{x}{3}$，则级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1}$。该级数是幂级数，其收敛半径 $R=1$，收敛区间为 $|t|<1$，即 $|x/3|<1$，故 $|x|<3$。因此原级数的收敛域为 $(-3,3)$。
公式：幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1}$ 的收敛半径为 $1$
提示：注意变量代换后收敛域的变化，$|x|<3$ 是开区间。
步骤 2/4
目标：求和函数 S(x)
已知当 $|t|<1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1} = \frac{1}{(1-t)^2}$。将 $t = x/3$ 代入，得 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{(1-x/3)^2} = \frac{9}{(3-x)^2}$，其中 $|x|<3$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1} = \frac{1}{(1-t)^2}, \ |t|<1$
提示：注意分母平方的正确计算：$(1-x/3)^2 = ( (3-x)/3 )^2 = (3-x)^2/9$，取倒数得 $9/(3-x)^2$。
步骤 3/4
目标：将 S(x) 展开为 (x-2) 的幂级数
将 $S(x) = \frac{9}{(3-x)^2}$ 改写为关于 $(x-2)$ 的形式：$3-x = 3 - [(x-2)+2] = 1 - (x-2)$，所以 $S(x) = \frac{9}{[1-(x-2)]^2}$。利用公式 $\frac{1}{(1-u)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n u^{n-1}, \ |u|<1$，令 $u = x-2$，得 $S(x) = 9 \sum_{n=1}^{\infty} n (x-2)^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} 9n (x-2)^{n-1}$，其中 $|x-2|<1$。
公式：$\frac{1}{(1-u)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n u^{n-1}, \ |u|<1$
提示：注意指数：展开式中 $(x-2)$ 的指数是 $n-1$，系数是 $9n$。
步骤 4/4
目标：确定展开后幂级数的收敛半径和收敛区间
展开后的幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} 9n (x-2)^{n-1}$，其收敛半径由 $|x-2|<1$ 得 $R=1$。收敛区间为 $|x-2|<1$，即 $1
公式：幂级数收敛半径公式
提示：端点需单独判断，由于通项不趋于0，端点均发散。
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