中册 6.4 幂级数 第26题
📝 题目
26．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\left|a_{n}\right| \leqslant n^{\sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant 1$ ；（2）幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 的收敛半径 $R \geqslant 1$ ；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 收玫．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\left|a_{n}\right| \leqslant n^{\sqrt{n}}$ ，则 $\displaystyle \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{n^{\sqrt{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{\sqrt{n} \ln n}{n}}=1$ ，所以幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 的收玫半径 $R \geqslant 1$.
又由于 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\left|a_{n}\right|}{2^{n}}}=\frac{1}{2} \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\frac{1}{2}<1$ ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：估计上极限
由条件 $|a_n| \leq n^{\sqrt{n}}$，得 $\sqrt[n]{|a_n|} \leq \sqrt[n]{n^{\sqrt{n}}} = n^{\frac{\sqrt{n}}{n}} = e^{\frac{\sqrt{n}\ln n}{n}}$。因此 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq \varlimsup_{n\to\infty} e^{\frac{\sqrt{n}\ln n}{n}} = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}}$。由于 $\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n}} = 0$，故 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq e^0 = 1$。
公式：$\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq \lim_{n\to\infty} e^{\frac{\sqrt{n}\ln n}{n}} = 1$
提示：注意上极限与极限的关系，这里上极限小于等于极限值，但极限存在时相等。
步骤 2/5
目标：证明收敛半径≥1
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n r^n$ 的收敛半径 $R = \frac{1}{\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$。由（1）知 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq 1$，所以 $R \geq 1$。
公式：$R = \frac{1}{\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
提示：收敛半径公式中分母是上极限，注意上极限可能为0，此时半径为无穷大。
步骤 3/5
目标：考虑级数 $\sum \frac{a_n}{2^n}$ 的收敛性
对级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$，其通项为 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$。计算 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|} = \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{|a_n|}{2^n}} = \frac{1}{2} \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$。
公式：$\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|} = \frac{1}{2} \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
提示：注意根号下分母 $2^n$ 开 $n$ 次方得 $1/2$。
步骤 4/5
目标：利用（1）的结果
由（1）知 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq 1$，所以 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|} \leq \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1$。
提示：上极限的不等式传递性。
步骤 5/5
目标：应用根值判别法
根据根值判别法（Cauchy判别法），若 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|} < 1$，则级数 $\sum b_n$ 绝对收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$ 收敛。
公式：根值判别法：若 $\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
提示：根值判别法要求上极限小于1，等于1时失效。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。