中册 6.4 幂级数 第27题
📝 题目
27．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且满足 $f^{n}(0)>0$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ ．令 $\displaystyle a_{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域．
分析： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ 是一重要隐含条件： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0 \Leftrightarrow f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ ，所以 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{x} \cdot x\right)=0$ ．从而
$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0 .
$$
于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} f\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{2 x}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)
$$
由此得 $a_{n}>0$ 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
当 $n$ 充分大时，有 $\displaystyle \frac{1}{2 n^{2}} f^{n}(0)-\frac{\varepsilon}{n^{2}}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由极限条件推出f(0)和f'(0)的值
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=0$。首先，由 $f(0)=\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0}\left(\frac{f(x)}{x}\cdot x\right)=0$。然后，由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$。
公式：$f(0)=0$, $f'(0)=0$
提示：注意极限条件隐含了f(0)=0，否则极限不存在。
步骤 2/7
目标：估计a_n的阶
考虑极限 $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} n^2 f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$。由于 $f(0)=f'(0)=0$，使用洛必达法则：$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} = \frac{1}{2} f''(0)$。因此 $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2} f''(0) > 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2} f''(0)$
提示：注意使用洛必达法则时需验证条件，且f''(0)存在。
步骤 3/7
目标：确定a_n的正负性和级数∑a_n的收敛性
由 $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2} f''(0) > 0$，知当n充分大时，$a_n > 0$。且由于 $a_n \sim \frac{f''(0)}{2n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故 $\sum a_n$ 收敛。
公式：$a_n \sim \frac{f''(0)}{2n^2}$
提示：正项级数比较判别法，注意极限为正数。
步骤 4/7
目标：求收敛半径
由 $\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = C > 0$，得 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{C/n^2} = 1$，因此收敛半径 $R=1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=1$
提示：根值法求收敛半径，注意极限为1。
步骤 5/7
目标：讨论端点x=1处的收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum a_n$，由步骤3知该级数收敛。
提示：直接利用已得结论。
步骤 6/7
目标：讨论端点x=-1处的收敛性
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum (-1)^n a_n$。由于 $a_n$ 单调递减（因为 $f$ 二阶可导且 $f''(0)>0$，可证 $a_n$ 最终单调），且 $\lim a_n = 0$，由莱布尼茨判别法知级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法
提示：需验证 $a_n$ 单调递减，可利用导数或差分。
步骤 7/7
目标：综合收敛域
收敛半径为1，且在端点 $x=1$ 和 $x=-1$ 处均收敛，故收敛域为 $[-1,1]$。
提示：注意区间端点是否包含。
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