中册 6.4 幂级数 第28题
📝 题目
28．若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，且 $\lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\left|x^{n}\right| \leqslant 1(x \in[0,1])$ ，故 $\left\{x^{n}\right\}$ 单调一致有界；又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $x \in[0,1]$ 上一致收敛．由阿贝尔判别法，$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
显然，$a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上连续，由连续性定理知 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上连续，故 $\lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数项级数的性质
考虑幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在区间 $[0,1]$ 上的收敛性。由于 $x \in [0,1]$，有 $|x^n| \leq 1$，因此函数序列 $\{x^n\}$ 在 $[0,1]$ 上一致有界，且对每个固定的 $x$，$x^n$ 关于 $n$ 单调递减（当 $x \in [0,1)$ 时严格递减，$x=1$ 时为常数）。
公式：$|x^n| \leq 1$
提示：注意 $x=1$ 时 $x^n=1$ 是常数，单调性仍然成立。
步骤 2/4
目标：应用阿贝尔判别法
已知级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，即 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 在 $x \in [0,1]$ 上（与 $x$ 无关）一致收敛。又因为 $\{x^n\}$ 在 $[0,1]$ 上单调一致有界，由阿贝尔判别法（Abel test）可知，函数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum b_n$ 一致收敛，且 $\{a_n(x)\}$ 单调一致有界，则 $\sum a_n(x) b_n$ 一致收敛。
提示：阿贝尔判别法要求 $\{a_n(x)\}$ 对每个 $x$ 单调且一致有界，这里 $a_n(x)=x^n$ 满足条件。
步骤 3/4
目标：验证连续性条件
每个单项 $a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上是连续函数（因为 $x^n$ 连续，$a_n$ 为常数）。由于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，根据连续性定理（一致收敛的连续函数项级数的和函数连续），和函数 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上连续。
公式：连续性定理：若 $f_n(x)$ 连续且 $\sum f_n(x)$ 一致收敛，则和函数连续。
提示：注意连续性定理要求一致收敛，这里已证明一致收敛。
步骤 4/4
目标：求极限
由 $S(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，特别地在 $x=1$ 处连续，因此 $\lim_{x \to 1^-} S(x) = S(1)$。而 $S(1) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot 1^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n$，所以 $\lim_{x \to 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n$。
公式：$\lim_{x \to 1} S(x) = S(1)$
提示：这里 $x \to 1$ 是左极限，因为定义域为 $[0,1]$，但连续性保证极限等于函数值。
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