中册 6.4 幂级数 第29题
📝 题目
29．设 $a_{n}>0, n \geqslant 0, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为1．证明：如果 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)=S$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫且和为 S．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} x^{k}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_{k} x^{k}=S(x), x \in[0,1), \lim _{x \rightarrow 1} S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．
在 $[0,1)$ 上有 $0 \leqslant S_{n}(x) \leqslant S(x)$ ．于是 $0 \leqslant \lim _{x \rightarrow \Gamma^{-}} S_{n}(x) \leqslant \lim _{x \rightarrow \Gamma^{-}} S(x)=S$ ．故 $0 \leqslant \sum_{k=1}^{n} a_{k} \leqslant S$ ，即 $\left\{S_{n}\right\}$ 有界。又由 $a_{n}>0$ 得 $\left\{S_{n}\right\}$ 单调增加．于是 $\left\{S_{n}\right\}$ 收玫，从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，即 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 收玫．由幂级
数和函数的连续性得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义部分和与部分和函数
记 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k x^k$，$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$。则对每个固定的 $x\in[0,1)$，有 $\lim_{n\to\infty} S_n(x)=S(x)$；对每个固定的 $n$，有 $\lim_{x\to 1^-} S_n(x)=S_n$。
提示：注意 $S_n(x)$ 是有限和，$S(x)$ 是无穷和，极限顺序不同。
步骤 2/6
目标：利用 $a_n>0$ 得到不等式
由于 $a_n>0$，对于 $x\in[0,1)$，有 $0\le S_n(x)\le S(x)$。这是因为 $S_n(x)$ 是 $S(x)$ 的部分和，且所有项非负。
公式：0\le S_n(x)\le S(x)
提示：注意 $x\in[0,1)$ 时 $x^k$ 非负，所以部分和不超过总和。
步骤 3/6
目标：对不等式取极限 $x\to 1^-$
对固定的 $n$，令 $x\to 1^-$，由不等式 $0\le S_n(x)\le S(x)$ 及已知 $\lim_{x\to 1^-} S(x)=S$，得 $0\le \lim_{x\to 1^-} S_n(x)\le S$。而 $\lim_{x\to 1^-} S_n(x)=S_n$，故 $0\le S_n\le S$。
公式：0\le S_n\le S
提示：注意极限保不等式性：$\liminf$ 和 $\limsup$ 要小心，但这里极限存在且不等式成立。
步骤 4/6
目标：证明部分和数列有界且单调
由 $0\le S_n\le S$ 知 $\{S_n\}$ 有上界 $S$。又 $a_n>0$，故 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}>S_n$，所以 $\{S_n\}$ 单调递增。
提示：单调有界定理是判断数列收敛的常用方法。
步骤 5/6
目标：推出级数收敛
由单调有界定理，$\{S_n\}$ 收敛，即级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛。记其和为 $T$，则 $T=\lim_{n\to\infty} S_n$。
提示：注意这里只证明了收敛，尚未证明 $T=S$。
步骤 6/6
目标：利用幂级数连续性得到和相等
由于 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，幂级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ 在 $x=1$ 处收敛。由幂级数和函数的连续性，在 $[0,1]$ 上连续，故 $\lim_{x\to 1^-} S(x)=S(1)$。而 $S(1)=\sum_{n=1}^\infty a_n = T$，且已知 $\lim_{x\to 1^-} S(x)=S$，所以 $T=S$。
公式：\lim_{x\to 1^-} S(x)=S(1)=\sum_{n=1}^\infty a_n
提示：幂级数在收敛区间端点可能不连续，但这里已知在 $x=1$ 收敛，故和函数在 $x=1$ 左连续。
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