中册 6.4 幂级数 第30题
📝 题目
30．设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $|x|
💡 答案解析
解题过程：
由 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ 收玫知 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ 在 $[0, R]$ 上一致收玫。从而 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$ 在 $x=R$ 左连续，即 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow R^{\prime}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ ．对 $\forall x \in(0, R)$ 有
$$
\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n}\right) \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} x^{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1} .
$$
于是
$$
\int_{0}^{R} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{x \rightarrow R^{-}} \int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n}\right) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow R^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1} .
$$
取 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \ln \frac{1}{1-x}$ ，利用上述结果得－－
$$
\int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} .
$$
取 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$ ，则 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1},|x|<1$ ．利用上述结果得
$$
\ln 2=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n-1} x^{n-1}\right] \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1}(-1)^{n-1} x^{n-1} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明积分与求和可交换的条件
已知 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $|x|
提示：注意一致收敛的判别条件，阿贝尔判别法要求级数在端点收敛且函数列单调一致有界。
步骤 2/5
目标：在区间内逐项积分
对任意 $x\in(0,R)$，由于幂级数在 $[0,x]$ 上一致收敛，可以逐项积分：
$$\int_0^x f(t) dt = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty a_n t^n dt = \sum_{n=0}^\infty \int_0^x a_n t^n dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}.$$
公式：$$\int_0^x \sum_{n=0}^\infty a_n t^n dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$
提示：幂级数在收敛区间内闭一致收敛，因此可以逐项积分。
步骤 3/5
目标：取极限得到积分等式
令 $x\to R^-$，利用 $S(x)$ 的左连续性：
$$\int_0^R f(x) dx = \lim_{x\to R^-} \int_0^x f(t) dt = \lim_{x\to R^-} \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} R^{n+1}.$$
公式：$$\int_0^R f(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} R^{n+1}$$
提示：极限与求和交换需要一致收敛性保证，这里利用左连续性。
步骤 4/5
目标：证明(1)：$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \ln 2 = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$
取 $f(x)=\frac{1}{1+x}$，其幂级数展开为 $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n$，收敛半径 $R=1$。此时 $a_n=(-1)^n$。验证 $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} R^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$ 收敛（交错级数）。应用上述结果：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot 1^{n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}.$$
令 $k=n+1$，则 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$（注意 $n=0$ 时项为0，实际从 $n=1$ 开始）。而 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \ln 2$，故得证。
公式：$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, \quad |x|<1$$
提示：注意幂级数展开的符号，以及求和指标变换时起始项的处理。
步骤 5/5
目标：证明(2)：$\int_0^1 \ln\frac{1}{1-x} \cdot \frac{dx}{x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
取 $f(x)=\frac{1}{x} \ln\frac{1}{1-x}$。首先展开 $\ln\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$，则 $f(x)=\frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n}$。令 $m=n-1$，则 $f(x)=\sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m+1}$，即 $a_m = \frac{1}{m+1}$，收敛半径 $R=1$。验证 $\sum_{m=0}^\infty \frac{a_m}{m+1} R^{m+1} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(m+1)^2}$ 收敛。应用上述结果：
$$\int_0^1 f(x) dx = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(m+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.$$
而 $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \ln\frac{1}{1-x} \cdot \frac{dx}{x}$，故得证。
公式：$$\ln\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}, \quad |x|<1$$
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是正常点，因为 $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1/(1-x))}{x}=1$。
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