中册 6.4 幂级数 第31题
📝 题目
31．设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{A_{n}}=0$ ，求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $R_{1}, \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $R_{2}$ ．由 $0 \leqslant a_{n} \leqslant A_{n}$ ，可知
$$
R_{1} \geqslant R_{2}
$$
又由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，可知 $R_{1} \leqslant 1$ ．由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n}}{A_{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{A_{n+1}-a_{n+1}}{A_{n+1}}=1$ 知 $R_{2}=1$ ．结合上述关系得 $R_{1}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数收敛半径的关系
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R_1$，$\sum_{n=1}^{\infty} A_n x^n$ 的收敛半径为 $R_2$。由于 $0 \leq a_n \leq A_n$，根据比较判别法，对于任意 $x$，若 $\sum A_n x^n$ 收敛，则 $\sum a_n x^n$ 也收敛，因此 $R_1 \geq R_2$。
提示：注意比较判别法仅适用于正项级数，这里 $a_n > 0$，$A_n > 0$，所以可以应用。
步骤 2/5
目标：利用级数发散性得到上界
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，即当 $x=1$ 时幂级数 $\sum a_n x^n$ 发散，因此收敛半径 $R_1 \leq 1$。
提示：收敛半径的定义：若在 $x=x_0$ 处发散，则 $R \leq |x_0|$。
步骤 3/5
目标：计算 $\sum A_n x^n$ 的收敛半径
考虑 $\lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{A_{n+1}}$。由 $A_{n+1} = A_n + a_{n+1}$，得 $\frac{A_n}{A_{n+1}} = \frac{A_n}{A_n + a_{n+1}} = 1 - \frac{a_{n+1}}{A_{n+1}}$。由条件 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{A_n} = 0$，得 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{A_{n+1}} = 0$，因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{A_{n+1}} = 1$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{A_{n+1}} = 1$$
提示：注意极限下标 $n \to \infty$ 时，$a_{n+1}/A_{n+1}$ 也趋于0。
步骤 4/5
目标：应用根值法或比值法求 $R_2$
由 $\lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{A_{n+1}} = 1$，根据比值判别法，幂级数 $\sum A_n x^n$ 的收敛半径 $R_2 = \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{A_{n+1}} = 1$。
公式：$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$
提示：这里 $a_n$ 对应 $A_n$，且 $A_n > 0$，所以绝对值可去掉。
步骤 5/5
目标：综合得到 $R_1$
由 $R_1 \geq R_2 = 1$ 和 $R_1 \leq 1$，得 $R_1 = 1$。
提示：注意不等式方向：$R_1 \geq R_2$ 来自比较判别法，$R_1 \leq 1$ 来自 $x=1$ 处发散。
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