中册 6.4 幂级数 第32题

解题分析：证明幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $R=1$ 即可． \section*{解题过程：} （1）先证：$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 上有定义． 当 $L=0$ 时，$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 上有定义． 当 $L \neq 0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_{n} x^{n}}\right|=|x|<1$ ．所以 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$ ． 再证： $\lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ． $$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x) & =\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(f(x)-x f(x))=\lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}-a_{n} x^{n+1}\right)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left[a_{1} x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right) x^{n+1}\right] \\ & =\lim _{x \rightarrow 1}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n+1}\right)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(a_{1} x+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1} x^{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n+1}\right) \\ & =a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=a_{1}+\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{1}\right)=L . \end{aligned} $$ （2）若 $a=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $R=\infty$ ． 若 $a \neq 0$ ，由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $R=1$ ． 由（1）得 $\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ． 由于 $\displaystyle \frac{f(t)}{1-t}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} t^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} t^{n}$ ，其中 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．故 $$ \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{n+1} x^{n+1}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{n+1}=a $$ 于是 $$ \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{n+1} x^{n+1}=a $$