中册 6.4 幂级数 第33题
📝 题目
33．设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 有定义，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散。已知极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}$ 存在，求 $l$ ，并证明级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，又级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散，于是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $R=1$ ．
由于 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \sqrt[n]{2}\right)$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}=1$ ，从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$ 存在。于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=R=1$ ，故 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}=1$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．$\left\{x^{n}\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致有界，对每个 $x,\left\{x^{n}\right\}$ 单调递减．由阿贝尔判别法得 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定幂级数的收敛半径
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（因为 $f(x)$ 在 $x=1$ 有定义），而 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散，所以幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=1$ 条件收敛，因此收敛半径 $R=1$。
提示：注意条件收敛与绝对收敛的区别，收敛半径由系数决定，与端点收敛性相关。
步骤 2/4
目标：利用极限存在性求 l
已知 $l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2a_n|}$ 存在。由于 $\sqrt[n]{2} \to 1$，所以 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 也存在，且等于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2a_n|}$。由收敛半径 $R=1$ 知 $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$，因此 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$，从而 $l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2a_n|} = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot \sqrt[n]{2} = 1$
提示：注意极限存在性保证了 $\sqrt[n]{|a_n|}$ 的极限存在，而不仅仅是上极限。
步骤 3/4
目标：分析级数在 [0,1] 上的一致收敛性
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $x^n$ 在 $[0,1]$ 上关于 $n$ 单调递减（对每个固定的 $x$），并且 $|x^n| \leq 1$，即 $\{x^n\}$ 在 $[0,1]$ 上一致有界。根据阿贝尔判别法（Abel test），若 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n(x)\}$ 单调且一致有界，则 $\sum a_n b_n(x)$ 一致收敛。这里 $b_n(x)=x^n$，因此 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n(x)\}$ 单调且一致有界，则 $\sum a_n b_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意阿贝尔判别法的条件：$\sum a_n$ 收敛（常数项级数），$b_n(x)$ 单调且一致有界。这里 $x^n$ 在 $[0,1]$ 上对每个 $x$ 关于 $n$ 单调递减，且 $|x^n|\leq 1$。
步骤 4/4
目标：补充说明 n=0 项
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，因为 $a_0$ 是常数项，不影响一致收敛性。实际上，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 已证一致收敛，加上常数项仍一致收敛。
提示：注意 $n=0$ 项是常数，不影响收敛性。
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