中册 6.4 幂级数 第34题
📝 题目
34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $[0,1]$ 上，证明：它在 $(0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）解题分析：令等式左边函数为 $F(x)$ 。先证 $F(x)$ 为一常数，转证 $F^{\prime}(x)=0$ ，再证 $F(x)=f(1)$.
设 $F(x)=f(x)+f(1-x)+\ln x \ln (1-x),(x \in(0,1)$ ，则
$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(x) & =f^{\prime}(x)-f^{\prime}(1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)-\frac{1}{1-x} \ln x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x)^{n-1}}{n}-\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}+\frac{1}{1-x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n} \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x)^{n-1}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x)^{n-1}}{n}=0
\end{aligned}
$$
于是 $F(x)=$ 常数 $c,(0
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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