中册 6.4 幂级数 第35题

由已知条件，$a_{n+2}+c_1 a_{n+1}+c_2 a_n=0$，代入$n=0$和$n=1$： 当$n=0$时，$a_2+c_1 a_1+c_2 a_0=0$，即$-1-7c_1+c_2=0$； 当$n=1$时，$a_3+c_1 a_2+c_2 a_1=0$，即$-43-c_1-7c_2=0$。 解方程组得$c_1=-1, c_2=-6$。

递推关系为$a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n=0$，特征方程$r^2-r-6=0$，解得$r_1=3, r_2=-2$。 故通解为$a_n=A\cdot3^n+B\cdot(-2)^n$。 代入初始条件$a_0=1, a_1=-7$： $n=0$：$A+B=1$； $n=1$：$3A-2B=-7$。 解得$A=-1, B=2$。 因此$a_n=-3^n+2\cdot(-2)^n = -3^n - (-2)^{n+1}$。

幂级数为$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} [-3^n - (-2)^{n+1}] x^n$。 收敛半径$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。 计算：$a_n = -3^n - (-2)^{n+1}$，$a_{n+1} = -3^{n+1} - (-2)^{n+2}$。 当$n\to\infty$时，$3^n$占主导，故$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \sim \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}$，所以$R = \frac{1}{3}$。

由$a_n = -3^n - (-2)^{n+1}$，则 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} [-3^n - (-2)^{n+1}] x^n$ $= -\sum_{n=1}^{\infty} (3x)^n - 2\sum_{n=1}^{\infty} (-2x)^n$（注意$(-2)^{n+1} = -2\cdot(-2)^n$） $= -\left( \frac{3x}{1-3x} \right) - 2\left( \frac{-2x}{1+2x} \right)$，其中$|x|<\frac{1}{3}$。 化简：$S(x) = -\frac{3x}{1-3x} + \frac{4x}{1+2x} = \frac{-3x(1+2x) + 4x(1-3x)}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{-3x-6x^2+4x-12x^2}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{x-18x^2}{(1-3x)(1+2x)}$。 但题目中$S(x)=\frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$，注意$S(x)$定义为$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，而题目可能从$n=0$开始？检查：若从$n=0$开始，$a_0=1$，则$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，则$1+\frac{x-18x^2}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{(1-3x)(1+2x)+x-18x^2}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{1-3x+2x-6x^2+x-18x^2}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{1-24x^2}{(1-3x)(1+2x)}$，仍不匹配。 重新推导：$a_n = -3^n - (-2)^{n+1}$，则$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} [-3^n - (-2)^{n+1}] x^n = -\sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n - 2\sum_{n=0}^{\infty} (-2x)^n = -\frac{1}{1-3x} - \frac{2}{1+2x} = \frac{-(1+2x)-2(1-3x)}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{-1-2x-2+6x}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{-3+4x}{(1-3x)(1+2x)}$。 但题目中$S(x)=\frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$，注意题目中$S(x)$是幂级数的和函数，且$a_0=1$，但题目中幂级数从$n=1$开始？题目写的是$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，但$a_0$给出，可能定义$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$？检查答案：答案中$S(x)=\frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$，且推导中$S(x)=-\sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n+2\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^n$，说明他们从$n=0$开始，且$a_n$表达式为$-3^n+2(-2)^n$，但之前我们得到$a_n=-3^n+2(-2)^n$，代入$n=0$得$a_0=-1+2=1$，正确；$n=1$得$a_1=-3-4=-7$，正确；$n=2$得$a_2=-9+8=-1$，正确；$n=3$得$a_3=-27-16=-43$，正确。所以$a_n=-3^n+2(-2)^n$，即$-3^n-(-2)^{n+1}$（因为$2(-2)^n = -(-2)^{n+1}$）。 那么$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} [-3^n+2(-2)^n] x^n = -\sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n + 2\sum_{n=0}^{\infty} (-2x)^n = -\frac{1}{1-3x} + \frac{2}{1+2x} = \frac{-(1+2x)+2(1-3x)}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{-1-2x+2-6x}{(1-3x)(1+2x)} = \frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$。 因此，和函数为$S(x)=\frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$，收敛域为$|x|<\frac{1}{3}$。

（1）$S(x)=\frac{1-8x}{(1-3x)(1+2x)}$； （2）收敛半径$R=\frac{1}{3}$； （3）$a_n = -3^n - (-2)^{n+1}$。