中册 6.4 幂级数 第36题
📝 题目
36．设 $a_{n}>0, \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1$ ，定义函数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}-x$ ，证明：（1）$f(x)$ 是 $[0,1]$ 内的下凸函数； （2）$f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根的充要条件是 $f^{\prime}(1)>0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
f(0)=a_{0}>0, f(1)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}-1=0
$$
由于 $f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}-1, f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2} \geqslant 0, x \in[0,1]$ ，所以 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 内的下凸函数．
若 $f^{\prime}(1)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1)$ 单调增加，于是 $f(x)<0$ ．由根的存在定理，$f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根．
下证：若 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根，则 $f^{\prime}(1)>0$ ．
若 $f^{\prime}(1) \leqslant 0$ ，由于 $f^{\prime \prime}(x)>0, x \in(0,1)$ ，所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 严格单调增加，于是当 $00$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算端点函数值
计算 $f(0)$ 和 $f(1)$。由 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n - x$，得 $f(0)=a_0>0$，$f(1)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n -1 = 1-1=0$。
公式：f(0)=a_0>0, f(1)=0
提示：注意 $a_n>0$，所以 $a_0>0$。
步骤 2/6
目标：计算一阶和二阶导数
对 $f(x)$ 逐项求导：$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} -1$，$f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}$。由于 $a_n>0$，$x\in[0,1]$，$n(n-1)\ge 0$，故 $f''(x)\ge 0$。
公式：f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} \ge 0
提示：逐项求导需验证一致收敛性，但幂级数在收敛区间内可逐项求导。
步骤 3/6
目标：证明下凸性
由 $f''(x)\ge 0$ 可知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是下凸函数（凸函数）。
提示：二阶导数非负是凸函数的充分条件。
步骤 4/6
目标：证明充分性：若 $f'(1)>0$，则 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根
由于 $f''(x)\ge 0$，$f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。若 $f'(1)>0$，则存在 $δ>0$ 使得在 $(1-δ,1)$ 内 $f'(x)>0$，从而 $f(x)$ 在 $(1-δ,1)$ 上严格递增。又 $f(1)=0$，故在 $(1-δ,1)$ 内 $f(x)<0$。而 $f(0)=a_0>0$，由连续函数介值定理，存在 $c\in(0,1)$ 使得 $f(c)=0$，即 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根。
提示：注意 $f(1)=0$，且 $f$ 在 $1$ 左侧附近为负。
步骤 5/6
目标：证明必要性：若 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根，则 $f'(1)>0$
反证法。假设 $f'(1)\le 0$。由于 $f''(x)>0$ 对 $x\in(0,1)$（因为 $a_n>0$ 且 $n(n-1)$ 至少有一项正），故 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 严格递增。于是对任意 $x\in(0,1)$，$f'(x)0$，$f(1)=0$ 得 $f(x)>0$ 对 $x\in[0,1)$，与 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根矛盾。故 $f'(1)>0$。
提示：注意 $f''(x)>0$ 严格大于0，确保 $f'(x)$ 严格递增。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的下凸函数，且 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 内有根的充要条件是 $f'(1)>0$。
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