中册 6.4 幂级数 第37题
📝 题目
37．证明下列结论．
（1）若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 内收玫于 $f(x)$ ．设 $0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $f\left(x_{n}\right)=0$ ， $n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $(-R, R)$ ，若数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $M>0$ 使得 $\left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：解题分析：由于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-1,1)$ 内收玫于 $f(x)$ ，因此其和函数 $f(x)$ 存在任意阶连续导数，进而考虑拉格朗日中值定理及用归结原则 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{(k)}(x)=f^{(k)}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right)$ 。证明如下：
由幂级数的收玫性知 $f(x)$ 连续，于是 $f(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．由幂级数的性质可知 $f^{(k)}(x)$ 都在 $(-1,1)$ 上连续，$k=1,2, \cdots$ ．
由拉格朗日中值定理，在 $x_{n}$ 与 0 之间存在 $\xi_{n}$ 使得 $f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．
显然 $\xi_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=0, f^{\prime}(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
由拉格朗日中值定理，在 $\xi_{n}$ 与 0 之间存在 $\eta_{n}$ 使得 $f^{\prime \prime}\left(\eta_{n}\right)=0$ ．
显然 $\lim _{n \rightarrow \infty} \eta_{n}=0, \eta_{n} \neq 0, f^{\prime \prime}(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime \prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
如此继续下去可得 $f^{(k)}(0)=0, k=0,1,2,3, \cdots$ ．
因 $f(x)$ 可展成收敛的幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，所以 $\displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=0, n=0,1,2, \cdots$ ．故
$$
f(x)=0, x \in(-1,1) .
$$
方法 2：由幂级数的收玫性知 $f(x)$ 连续，于是 $f(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right)=0$ ．
由幂级数的收敛性知 $f^{\prime}(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$ 。于是
$$
f^{\prime}(0)=\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=f^{\prime}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right)=0 .
$$
同理 $f^{(n)}(0)=0$ ．在点 0 的邻域展开得 $f(x)=0$ ．
（2）同（1）．
（3）由题设知 $f(0)=0$ ．
由 Rolle 定理知，$\exists\left\{x_{m}^{(0)}\right\}$ ，使得 $\lim _{m \rightarrow \infty} x_{m}^{(0)}=0, f^{\prime}\left(x_{m}^{(0)}\right)=0,(m=1,2, \cdots)$ ．
假定 $\exists\left\{x_{m}^{(0)}\right\}$ ，使得 $\lim _{m \rightarrow \infty} x_{m}^{(k)}=0, f^{(k)}\left(x_{m}^{(k)}\right)=0,(m=1,2, \cdots)$ 。由 Rolle 定理知，$\exists\left\{x_{m}^{(k+1)}\right\}$ ，使得 $\lim _{m \rightarrow \infty} x_{m}^{(k+1)}=0, f^{(k+1)}\left(x_{m}^{(k+1)}\right)=0,(m=1,2, \cdots)$ ．
以上说明 $f^{(n)}(0)=0,(n=0,1,2, \cdots)$ ．由题设知，$f(x)$ 可展成幂级数，即 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}$ ．于是 $f(x)=0$ ．
（4）同（3）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明f(0)=0
由幂级数在$(-1,1)$内收敛于$f(x)$，知$f(x)$连续。由条件$\lim_{n\to\infty}x_n=0$且$f(x_n)=0$，利用连续性得$f(0)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$。
公式：f(0)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0
提示：注意连续性保证极限与函数值交换，但需确认$x_n\to0$在定义域内。
步骤 2/5
目标：利用拉格朗日中值定理构造导数为零的点列
对每个$n$，在$x_n$与$0$之间应用拉格朗日中值定理，存在$\xi_n$介于$x_n$与$0$之间，使得$f'(\xi_n)=\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}=0$。由于$x_n\neq0$且$\lim x_n=0$，故$\xi_n\neq0$且$\lim\xi_n=0$。
公式：f'(\xi_n)=0,\quad \xi_n\in(0,x_n)\text{或}(x_n,0)
提示：注意$\xi_n$依赖于$n$，且$\xi_n$趋于0但不等于0。
步骤 3/5
目标：证明f'(0)=0
由幂级数性质，$f'(x)$在$(-1,1)$内连续。由$\lim\xi_n=0$及$f'(\xi_n)=0$，利用连续性得$f'(0)=\lim_{n\to\infty}f'(\xi_n)=0$。
公式：f'(0)=\lim_{n\to\infty}f'(\xi_n)=0
提示：连续性再次用于交换极限与函数值。
步骤 4/5
目标：归纳证明所有阶导数在0处为零
假设已证$f^{(k)}(0)=0$，且存在点列$\{y_n\}$满足$\lim y_n=0$，$y_n\neq0$，$f^{(k)}(y_n)=0$。对$f^{(k)}$在$y_n$与$0$之间应用中值定理，存在$z_n$介于$y_n$与$0$之间，使得$f^{(k+1)}(z_n)=0$。由$f^{(k+1)}$连续得$f^{(k+1)}(0)=0$。由归纳法，对所有$k\ge0$有$f^{(k)}(0)=0$。
公式：f^{(k+1)}(z_n)=0,\quad f^{(k+1)}(0)=0
提示：归纳基础：$k=0$时已证$f(0)=0$且有点列$x_n$。
步骤 5/5
目标：由幂级数展开得f(x)恒为零
由于$f(x)$在$(-1,1)$内可展成幂级数$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，其中$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。由$f^{(n)}(0)=0$得$a_n=0$对所有$n$成立，故$f(x)=0$在$(-1,1)$内成立。
公式：f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0
提示：幂级数展开的唯一性保证系数由导数决定。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。