中册 6.5 傅里叶级数 第1题
📝 题目
1．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0), \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
（2）$f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi),\end{array}\right.$ 由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和，并证明：
$$
\pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots+\frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)
$$
（3）$f(x)=\operatorname{sgn} x, x \in(-\pi, \pi)$ ，由此求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）函数满足收玫定理的条件，它在点 $x=k \pi(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ 处不连续，在其他点处连续（见图 6．1）．由收敛定理知 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，当 $x=k \pi$ 时收敛于 $\displaystyle \frac{1}{2}(f(x-0)+f(x+0)) =\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=0$ ，当 $x \neq k \pi$ 时级数收玫于 $f(x)$ ．
$f(x)$ 为奇函数，故
$$
\begin{aligned}
& a_{n}=0, n=0,1,2, \cdots \\
& b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{4} \sin n x \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{2 n} \cos n x\right|_{0} ^{\pi}=\frac{1}{2 n}(1-\cos n \pi)=\frac{1-(-1)^{n}}{2 n}, n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
所以在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} \sin (2 n-1) x$ ．
由帕塞瓦尔等式 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ，有 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^{2}}{16} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-385.jpg?height=754&width=1811&top_left_y=4876&top_left_x=863}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.1}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-385.jpg?height=685&width=1803&top_left_y=4945&top_left_x=3329}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.2}
\end{figure}
（2）如图6．2，$f(x)$ 按段光滑，故可以展成傅里叶级数。
$$
\begin{aligned}
& a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \mathrm{~d} x=1 \\
& a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \cos n x \mathrm{~d} x=0, n=1,2, \cdots \\
& b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \sin n x \mathrm{~d} x=\left.\frac{-1}{n \pi} \cos n x\right|_{-\pi} ^{0}=\frac{-1}{n \pi}\left[1-(-1)^{n}\right], n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
所以在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} \sin (2 n+1) x$ ．
当 $x=0$ 时，级数收敛于 $\displaystyle \frac{f(0+0)+f(0-0)}{2}=\frac{1}{2}$ ．
取 $x=-1$ 得 $\displaystyle 1=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} \sin (-2 n-1)$ ，即 $\displaystyle \pi=4\left(\sin 1+\frac{\sin 3}{3}+\cdots \frac{\sin (2 n+1)}{2 n+1}+\cdots\right)$ ．
（3）如图 6．3，$f(x)$ 按段光滑，故可以展成傅里叶级数．$f(x)$ 为奇函数，故
$$
\begin{aligned}
a_{n} & =0, n=0,1,2, \cdots \\
b_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin n x \mathrm{~d} x \\
& =\left.\frac{-1}{n \pi} \cos n x\right|_{0} ^{\pi}=\frac{1}{n \pi}\left[1-(-1)^{n}\right]
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-386.jpg?height=739&width=1844&top_left_y=1520&top_left_x=3816}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.3}
\end{figure}
所以在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} \sin (2 n+1) x$ ．
当 $x=0$ 时，级数收玫于 $\displaystyle \frac{f(0+0)+f(0-0)}{2}=0$ ．
取 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 得 $\displaystyle 1=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} \sin \frac{2 n+1}{2} \pi$ ，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}=\frac{\pi}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断函数奇偶性并计算傅里叶系数
函数$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上为奇函数，因为$f(-x)=-f(x)$。因此傅里叶系数$a_n=0$，$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\pi}{4}\sin nx\,dx=\frac{1}{2n}(1-\cos n\pi)=\frac{1-(-1)^n}{2n}$。
公式：$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx$
提示：注意奇函数时$a_n=0$，只需计算$b_n$。
步骤 2/7
目标：写出傅里叶级数展开式
由于$f(x)$在间断点$x=k\pi$处收敛于$0$，在连续点处收敛于$f(x)$，故在$(-\pi,0)\cup(0,\pi)$上有$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{2n}\sin nx=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k-1}\sin(2k-1)x$。
公式：$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx$
提示：注意$1-(-1)^n$在$n$为偶数时为0，奇数时为2，因此只保留奇数项。
步骤 3/7
目标：利用帕塞瓦尔等式求级数和
帕塞瓦尔等式：$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)\,dx = \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$。代入$a_n=0$，$b_{2k-1}=\frac{1}{2k-1}$，$f^2(x)=\frac{\pi^2}{16}$，得$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\pi^2}{16}\,dx = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}$。计算左边得$\frac{\pi^2}{8}$，故$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。
公式：$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x)\,dx = \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n^2+b_n^2)$
提示：注意积分区间长度$2\pi$，$f^2(x)$为常数。
步骤 4/7
目标：计算第二问的傅里叶系数
函数$f(x)=\begin{cases}1,&x\in[-\pi,0)\\0,&x\in[0,\pi)\end{cases}$。计算$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 1\,dx=1$；$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 \cos nx\,dx=0$；$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 \sin nx\,dx=\frac{-1}{n\pi}[1-(-1)^n]$。
公式：$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$, $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$, $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$
提示：注意积分区间分段，$f(x)$在$[0,\pi)$上为0。
步骤 5/7
目标：写出第二问的傅里叶级数并取特定点
傅里叶级数为$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1}\sin(2k+1)x$。取$x=-1$，由于$f(-1)=1$，且级数收敛于$f(-1)$（因为$-1$不是间断点），得$1=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1}\sin(-(2k+1))$，即$\pi=4\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin(2k+1)}{2k+1}$。
公式：傅里叶级数在连续点收敛于函数值
提示：注意$x=-1$时$\sin(-(2k+1))=-\sin(2k+1)$，负号移项后得到正和。
步骤 6/7
目标：计算第三问的傅里叶系数
函数$f(x)=\operatorname{sgn} x$为奇函数，故$a_n=0$。$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sgn} x \sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx = \frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n]$。
公式：$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin nx\,dx$
提示：奇函数性质：$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx = 2\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx$。
步骤 7/7
目标：写出第三问的傅里叶级数并求特定级数和
傅里叶级数为$f(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1}\sin(2k+1)x$。取$x=\frac{\pi}{2}$，则$f(\frac{\pi}{2})=1$，且$\sin(2k+1)\frac{\pi}{2}=(-1)^k$，得$1=\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}$，即$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4}$。
公式：$\sin(2k+1)\frac{\pi}{2}=(-1)^k$
提示：注意$n$从1开始，$(-1)^{n-1}$对应$k=n-1$。
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