中册 6.5 傅里叶级数 第2题
📝 题目
2．求下列函数的傅里叶级数展开式，并求级数的和．
（1）$f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ，并由此计算级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}, \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ 。
（2）$f(x)=x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ ，并计算级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$ 。
（3）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \in[-\pi, 0), \\ 0, x \in[0, \pi) .\end{array}(\right.$ 南航 2014）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）如图 6．4，$f(x)$ 按段光滑，故可展成傅里叶级数．$f(x)$ 是偶函数，所以
$$
\begin{aligned}
b_{n} & =0, n=1,2, \cdots \\
a_{0} & =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~d} x=\pi . \\
a_{k} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos k x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{2}{\pi}\left[\left.\left(x \frac{1}{k} \sin k x\right)\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \frac{1}{k} \sin k x \mathrm{~d} x\right] \\
& =\frac{2}{\pi}\left(-\int_{0}^{\pi} \frac{1}{k} \sin k x \mathrm{~d} x\right)=\left.\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{k^{2}} \cos k x\right)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{2}{\pi} \frac{1}{k^{2}}(\cos k \pi-1), k=1,2, \cdots .
\end{aligned}
$$
于是 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{1}{3^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{5^{2}} \cos 5 x+\cdots\right)$ ，并且当 $-\pi \leqslant x<\pi$ 时有
$$
|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) x
$$
取 $x=0$ 得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
又
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}+\frac{\pi^{2}}{8} .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=I= & \frac{\pi^{2}}{6} . \\
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}} & =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}=\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}-\left[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^{2}}\right] \\
& =\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=-\frac{\pi^{2}}{12} .
\end{aligned}
$$
（2）如图 6．5，$f(x)$ 按段光滑，由收玫定理知，它可以展成傅里叶级数。
$$
a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} x \mathrm{~d} x=2 \pi .
$$
当 $n \geqslant 1$ 时，
$$
\begin{aligned}
& a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} x \cos n x \mathrm{~d} x=0 \\
& b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} x \sin n x \mathrm{~d} x=-\frac{2}{n} .
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-387.jpg?height=781&width=2273&top_left_y=3343&top_left_x=3232}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.5}
\end{figure}
所以在 $(0,2 \pi)$ 上，$\displaystyle f(x)=\pi-2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ ．
令 $x=1$ ，得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin k}{k}=\frac{\pi-1}{2}$ ．
（3）所给函数满足收玫定理的条件，它在点 $x=(2 k+1) \pi(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ 处不连续（见图 6．6）．因此 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x=(2 k+1) \pi$ 处收玫于 $\displaystyle \frac{1}{2}(f(x-0)+f(x+0))=\frac{1}{2}(0-\pi)=-\frac{\pi}{2}$ ．在连续点 $x(x \neq(2 k+1) \pi)$ 处级数收玫于 $f(x)$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-387.jpg?height=671&width=2653&top_left_y=6022&top_left_x=1623}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.6}
\end{figure}
$$
\begin{aligned}
& a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} . \\
& a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos n x \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\pi}\left(\frac{x \sin n x}{n}+\frac{\cos n x}{n^{2}}\right)\right|_{-\pi} ^{0}=\frac{1}{n^{2} \pi}(1-\cos n \pi) . \\
& b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin n x \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\pi}\left(-\frac{x \cos n x}{n}+\frac{\sin n x}{n^{2}}\right)\right|_{-\pi} ^{0}
\end{aligned}
$$
$$
=-\frac{\cos n \pi}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n}, n=1,2, \cdots .
$$
$f(x)$ 的傅里叶级数展开式为
$$
\begin{array}{r}
-\frac{\pi}{4}+\left(\frac{2}{\pi} \cos x+\sin x\right)-\frac{1}{2} \sin 2 x+\left(\frac{2}{3^{2} \pi} \cos 3 x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right)-\frac{1}{4} \sin 4 x+\left(\frac{2}{5^{2} \pi} \cos 5 x+\frac{1}{5} \sin 5 x\right)-\cdots, \\
x \neq(2 k+1) \pi .
\end{array}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断函数性质并计算傅里叶系数
函数 $f(x)=|x|$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上是偶函数，且按段光滑，因此可展开为傅里叶级数，且 $b_n=0$。计算 $a_0$ 和 $a_n$：
$$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\,dx=\pi.$$
$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx\,dx=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}\bigg|_0^\pi-\int_0^\pi\frac{\sin nx}{n}dx\right]=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\cos n\pi-1}{n^2}.$$
公式：$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx\,dx$$
提示：注意偶函数性质简化计算，积分时使用分部积分法，注意 $\cos n\pi=(-1)^n$。
步骤 2/8
目标：写出傅里叶级数展开式
由于 $a_{2k}=0$，$a_{2k-1}=-\frac{4}{\pi(2k-1)^2}$，所以
$$|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2},\quad -\pi\le x<\pi.$$
公式：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx$$
提示：注意 $a_0/2=\pi/2$，且只有奇数项非零。
步骤 3/8
目标：计算第一个级数和
令 $x=0$，得 $0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}$，所以
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.$$
提示：注意 $\cos0=1$，代入后解方程。
步骤 4/8
目标：计算第二个级数和
利用恒等式 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k)^2}+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}$，且 $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k)^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$，代入得
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}+\frac{\pi^2}{8},$$
解得 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$。
公式：$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}+\frac{\pi^2}{8}$$
提示：注意区分奇偶项，正确列出方程。
步骤 5/8
目标：计算第三个级数和
将交错级数分解为奇偶项：
$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{n^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k)^2}-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{8}=-\frac{\pi^2}{12}.$$
公式：$$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}$$
提示：注意 $(-1)^n$ 在奇偶项上的符号不同。
步骤 6/8
目标：计算第二问的傅里叶系数
函数 $f(x)=x$ 在 $[0,2\pi]$ 上按段光滑，计算系数：
$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\,dx=2\pi,$$
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\cos nx\,dx=0,$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\sin nx\,dx=-\frac{2}{n}.$$
公式：$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\sin nx\,dx$$
提示：注意积分区间为 $[0,2\pi]$，$\cos nx$ 的积分为零。
步骤 7/8
目标：写出第二问的傅里叶级数并求和
在 $(0,2\pi)$ 上，
$$f(x)=\pi-2\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n}.$$
令 $x=1$，得 $1=\pi-2\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin k}{k}$，所以
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin k}{k}=\frac{\pi-1}{2}.$$
公式：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
提示：注意 $x=1$ 在 $(0,2\pi)$ 内，级数收敛于函数值。
步骤 8/8
目标：计算第三问的傅里叶系数
函数 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上分段定义，计算系数：
$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 x\,dx=-\frac{\pi}{2},$$
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 x\cos nx\,dx=\frac{1-\cos n\pi}{n^2\pi},$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 x\sin nx\,dx=\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$
公式：$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 x\cos nx\,dx$$
提示：注意积分区间为 $[-\pi,0]$，$\cos n\pi=(-1)^n$。
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