中册 6.5 傅里叶级数 第3题
📝 题目
3．对于 $n=0,1, \cdots$ ，令 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos n x \mathrm{~d} x, b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x$ 。（1）计算 $a_{n}, b_{n}$ 的值；（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}=\frac{2 \pi^{2}}{3}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 6．7，设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数，且 $f(x)=x,-\pi \leqslant x<\pi, f(\pi)=-\pi$ 。因 $f(x)$ 为 $[-\pi, \pi]$ 上的奇函数，于是
$$
\begin{aligned}
a_{n} & =0, n=0,1,2, \cdots . \\
b_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x=-\frac{1}{n \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \mathrm{~d} \cos n x=-\frac{1}{n \pi}\left(\left.x \cos n x\right|_{-\pi} ^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi} \cos n x \mathrm{~d} x\right) \\
& =-\frac{1}{n \pi}\left[(\pi \cos n \pi+\pi \cos n(-\pi))-\left.\frac{1}{n} \sin n x\right|_{-\pi} ^{\pi}\right] \\
& =-\frac{2}{n} \cos n \pi=(-1)^{n+1} \frac{2}{n}, n=1,2, \cdots .
\end{aligned}
$$
所以当 $x \in(-\pi, \pi)$ 时，有 $\displaystyle f(x)=x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin n x$ ．
应用帕塞瓦尔等式得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} \pi^{2}$ ．
\begin{figure}
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\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.7}
\end{figure}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算傅里叶系数 a_n
由于函数 $f(x)=x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上是奇函数，且 $\cos nx$ 是偶函数，因此被积函数 $x \cos nx$ 是奇函数，在对称区间上积分为零。故 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx \, dx = 0$ 对所有 $n=0,1,2,\dots$ 成立。
公式：奇函数在对称区间积分为零
提示：注意 $n=0$ 时 $\cos 0=1$，$x$ 仍是奇函数，所以 $a_0=0$。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数 b_n
利用分部积分法：$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx$。令 $u=x$, $dv=\sin nx dx$，则 $du=dx$, $v=-\frac{1}{n}\cos nx$。于是
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n}\cos nx \Big|_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx \right] = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\pi\cos n\pi}{n} - \frac{(-\pi)\cos(-n\pi)}{n} + \frac{1}{n}\cdot 0 \right) = -\frac{2}{n}\cos n\pi = (-1)^{n+1}\frac{2}{n}.$$
公式：分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意 $\cos n\pi = (-1)^n$，且 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx dx = 0$。
步骤 3/5
目标：写出傅里叶级数
由于 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上连续且分段光滑，其傅里叶级数收敛于 $f(x)$。因此
$$x = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx, \quad x\in(-\pi,\pi).$$
公式：傅里叶级数展开式
提示：在端点 $x=\pm\pi$ 处级数收敛于 $0$，但此处不需要。
步骤 4/5
目标：应用帕塞瓦尔等式
帕塞瓦尔等式（Parseval's identity）指出：对于傅里叶级数，有 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$。由于 $a_n=0$，得
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx.$$
公式：帕塞瓦尔等式
提示：注意 $a_0=0$，所以 $a_0^2/2=0$。
步骤 5/5
目标：计算积分并得出结论
计算积分：$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi^3}{3} - \left(-\frac{\pi^3}{3}\right) = \frac{2\pi^3}{3}$。因此
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}.$$
公式：定积分计算
提示：注意 $x^2$ 是偶函数，也可用 $2\int_0^\pi x^2 dx$ 简化计算。
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