中册 6.5 傅里叶级数 第4题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上 $f(x)=x$ 。（1）求 $f(x)$ 的傅里叶级数；（2）证明 $f(x)$ 的傅里叶级数收玫但不一致收玫；（3）给出 $f(x)$ 的傅里叶级数的和函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 6．7，$f(x)$ 按段光滑，且在 $(-\pi, \pi)$ 上为奇函数．由收玫定理，它可以展成傅里叶级数．由题 3 知：
$$
\begin{aligned}
& a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos n x \mathrm{~d} x=0, n=0,1,2, \cdots \\
& b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin n x \mathrm{~d} x=(-1)^{n+1} \frac{2}{n}, n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
$f(x)$ 的傅里叶级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2}{n} \sin n x$ ．
由傅里叶级数收玫定理得 $f(x)$ 的傅里叶级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2}{n} \sin n x$ 收玫．
当 $x \in(-\pi, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2}{n} \sin n x=x$ ；
当 $x=k \pi, k \in \mathbf{Z}$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2}{n} \sin n x=\frac{f(\pi+0)+f(\pi-0)}{2}=0$ ．
由于傅里叶级数的和函数不连续，所以傅里叶级数不一致收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断函数性质与可展性
函数 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在 $[-\pi,\pi)$ 上 $f(x)=x$。由于 $f(x)$ 在 $(-\pi,\pi)$ 内是奇函数，且按段光滑，故由傅里叶级数收敛定理，它可以展开为傅里叶级数。
提示：注意函数在端点 $x=\pm\pi$ 处有跳跃间断点，但按段光滑条件仍满足。
步骤 2/7
目标：计算傅里叶系数 $a_n$
由于 $f(x)=x$ 是奇函数，$\cos nx$ 是偶函数，乘积 $x\cos nx$ 是奇函数，在对称区间 $[-\pi,\pi]$ 上积分为零。因此，对所有 $n=0,1,2,\dots$，有
$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx \, dx = 0. $$
公式：$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx$
提示：奇函数在对称区间积分为零，可直接得出 $a_n=0$，无需计算。
步骤 3/7
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
由于 $f(x)=x$ 是奇函数，$\sin nx$ 是奇函数，乘积 $x\sin nx$ 是偶函数，故
$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin nx \, dx. $$
计算积分：利用分部积分，令 $u=x$，$dv=\sin nx \, dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac{1}{n}\cos nx$，得
$$ \int_{0}^{\pi} x \sin nx \, dx = \left[ -\frac{x}{n}\cos nx \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos nx \, dx = -\frac{\pi}{n}\cos n\pi + \frac{1}{n^2}\sin nx \big|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{n}(-1)^n. $$
因此
$$ b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left( -\frac{\pi}{n}(-1)^n \right) = (-1)^{n+1} \frac{2}{n}. $$
公式：$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx$
提示：注意 $\cos n\pi = (-1)^n$，且 $\sin n\pi = 0$。
步骤 4/7
目标：写出傅里叶级数
由 $a_n=0$ 和 $b_n=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$，得到 $f(x)$ 的傅里叶级数为
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2}{n} \sin nx. $$
公式：$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$
提示：由于 $a_0=0$，级数中只有正弦项。
步骤 5/7
目标：证明傅里叶级数收敛
由傅里叶级数收敛定理，因为 $f(x)$ 在 $(-\pi,\pi)$ 内连续且按段光滑，在 $x=\pm\pi$ 处有跳跃间断，所以其傅里叶级数在每一点收敛。具体地，当 $x\in(-\pi,\pi)$ 时，级数收敛到 $f(x)=x$；当 $x=k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）时，级数收敛到左右极限的平均值 $\frac{f(\pi-0)+f(\pi+0)}{2}=0$。
公式：傅里叶级数收敛定理
提示：注意在间断点处，级数收敛到左右极限的平均值。
步骤 6/7
目标：证明不一致收敛
傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 在 $x=\pi$ 处不连续（因为 $f(\pi-0)=\pi$，$f(\pi+0)=-\pi$，平均值 $0$），但级数的每一项都是连续函数。如果级数一致收敛，则和函数必连续，矛盾。因此，该傅里叶级数不一致收敛。
公式：一致收敛的连续函数列极限函数连续
提示：利用反证法：若一致收敛，则和函数连续，但实际不连续。
步骤 7/7
目标：给出和函数表达式
综合收敛结果，傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 为：
$$ S(x) = \begin{cases} x, & x \in (-\pi, \pi) \\ 0, & x = k\pi, \; k\in\mathbb{Z} \end{cases} $$
且以 $2\pi$ 为周期延拓。
提示：注意和函数在 $x=\pm\pi$ 处取值为 $0$，而不是 $\pm\pi$。
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