中册 6.5 傅里叶级数 第5题
📝 题目
5．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi \leqslant x \leqslant 0, \\ 1,0 \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $f(x)$ 的傅里叶级数，并问该级数收敛吗？收敛于 $f(x)$吗？在 $[-\pi, \pi]$ 上是否一致收敛？为什么？
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 6．8，$f(x)$ 按段光滑，故可以展成傅里叶级数。
$$
\begin{aligned}
a_{0} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} x=1 \\
a_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos n x \mathrm{~d} x=0, n=1,2, \cdots \\
b_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin n x \mathrm{~d} x=\left.\frac{-1}{n \pi} \cos n x\right|_{0} ^{\pi} \\
& =\frac{1}{n \pi}\left[1-(-1)^{n}\right], n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-389.jpg?height=678&width=1783&top_left_y=4337&top_left_x=3729}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.8}
\end{figure}
所以在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} \sin (2 n+1) x$ ．
当 $x=0$ 时，级数收敛于 $\displaystyle \frac{f(0+0)+f(0-0)}{2}=\frac{1}{2}$ ．
由于傅里叶级数的和函数不连续，所以傅里叶级数在 $[-\pi, \pi]$ 上不一致收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断函数性质
函数 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上分段常数，仅在 $x=0$ 处有跳跃间断点，且除该点外光滑，因此 $f(x)$ 按段光滑，可以展开为傅里叶级数。
提示：注意分段光滑的条件：函数在区间上只有有限个第一类间断点，且分段单调。
步骤 2/7
目标：计算傅里叶系数 $a_0$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \pi = 1.$$
公式：$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$
提示：注意积分区间分段，$f(x)$ 在 $[-\pi,0]$ 上为0，只需积分 $[0,\pi]$。
步骤 3/7
目标：计算傅里叶系数 $a_n$
对于 $n \geq 1$，$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = 0.$$
公式：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$
提示：注意 $\sin(n\pi)=0$，所以 $a_n=0$。
步骤 4/7
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{1}{n\pi} [1 - (-1)^n].$$
公式：$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
提示：注意 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，当 $n$ 为偶数时 $b_n=0$，奇数时 $b_n=\frac{2}{n\pi}$。
步骤 5/7
目标：写出傅里叶级数表达式
傅里叶级数为 $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n}{n\pi} \sin(nx).$$ 只取奇数项，令 $n=2k+1$，得 $$\frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}.$$
公式：$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$
提示：注意傅里叶级数不一定处处收敛到函数值，需要讨论收敛性。
步骤 6/7
目标：讨论傅里叶级数的收敛性
由于 $f(x)$ 按段光滑，根据狄利克雷定理，傅里叶级数在连续点处收敛到 $f(x)$，在间断点 $x=0$ 处收敛到左右极限的平均值：$$\frac{f(0^+)+f(0^-)}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}.$$ 因此级数在 $(-\pi,0)\cup(0,\pi)$ 上收敛到 $f(x)$，在 $x=0$ 处收敛到 $\frac{1}{2}$，而 $f(0)=1$，所以不收敛到 $f(x)$。
公式：狄利克雷收敛定理
提示：注意间断点处级数收敛到平均值，而不是函数值。
步骤 7/7
目标：判断一致收敛性
由于和函数 $S(x)$ 在 $x=0$ 处不连续（左极限0，右极限1，级数和为1/2），而傅里叶级数的每一项都是连续函数，若级数一致收敛，则和函数必连续。因此级数在 $[-\pi,\pi]$ 上不一致收敛。
公式：一致收敛的连续函数列极限函数连续
提示：利用反证法：若一致收敛，和函数应连续，但实际不连续，故不一致收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。