中册 6.5 傅里叶级数 第7题
📝 题目
7．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在 $[0,2 \pi]$ 上展开成傅里叶级数，求出该级数在 $[0,2 \pi]$ 上的和。并问该级数在 $[0,2 \pi]$ 上是否一致收敛于它的和函数？为什么？
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 6．11，将 $f(x)$ 延拓为以 $2 \pi$ 为周期的函数．傅里叶系数计算如下：
$$
\begin{aligned}
a_{0}= & \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\pi-x}{2} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{2 \pi}\left(\pi x-\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{2 \pi}=0 . \\
a_{n}= & \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\pi-x}{2} \cos n x \mathrm{~d} x \\
& =\left.\frac{\pi-x}{2 n \pi} \sin n x\right|_{0} ^{2 \pi}+\frac{1}{2 n \pi} \int_{0}^{2 \pi} \sin n x \mathrm{~d} x=0 . \\
b_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\pi-x}{2} \sin n x \mathrm{~d} x=-\left.\frac{\pi-x}{2 n \pi} \cos n x\right|_{0} ^{2 \pi}-\frac{1}{2 n \pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{n}, n=1,2, \cdots .
\end{aligned}
$$
所以 $f(x)$ 的傅里叶级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ ．
又 $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 内连续，所以当 $x \in(0,2 \pi)$ 时有 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}=\frac{\pi-x}{2}$ ．
当 $x=0,2 \pi$ 时，傅里叶级数收敛于 0 ，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi-x}{2}, x \in(0,2 \pi) \text { ，} \\ 0, x=0,2 \pi .\end{array}\right.$
由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 的和函数在 $[0,2 \pi]$ 上不连续，从而级数在 $[0,2 \pi]$ 上非一致收敛．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定周期延拓与傅里叶级数形式
将函数 $f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在 $[0,2\pi]$ 上延拓为以 $2\pi$ 为周期的函数。傅里叶级数形式为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。
公式：傅里叶级数：$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
提示：注意延拓后函数在端点处可能不连续，需单独处理。
步骤 2/6
目标：计算傅里叶系数 $a_0$
计算 $a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}dx=\frac{1}{2\pi}\left(\pi x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^{2\pi}=0$。
公式：$a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx$
提示：积分计算时注意上下限代入正确。
步骤 3/6
目标：计算傅里叶系数 $a_n$
计算 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\cos nx\,dx$。利用分部积分：令 $u=\frac{\pi-x}{2}$，$dv=\cos nx\,dx$，得 $du=-\frac{1}{2}dx$，$v=\frac{\sin nx}{n}$。则 $a_n=\left.\frac{\pi-x}{2n\pi}\sin nx\right|_0^{2\pi}+\frac{1}{2n\pi}\int_0^{2\pi}\sin nx\,dx=0+0=0$。
公式：分部积分：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
提示：注意 $\sin nx$ 在 $0$ 和 $2\pi$ 处均为0，且积分 $\int_0^{2\pi}\sin nx\,dx=0$。
步骤 4/6
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
计算 $b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\pi-x}{2}\sin nx\,dx$。分部积分：令 $u=\frac{\pi-x}{2}$，$dv=\sin nx\,dx$，得 $du=-\frac{1}{2}dx$，$v=-\frac{\cos nx}{n}$。则 $b_n=\left.-\frac{\pi-x}{2n\pi}\cos nx\right|_0^{2\pi}-\frac{1}{2n\pi}\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx$。计算边界项：$\left.-\frac{\pi-x}{2n\pi}\cos nx\right|_0^{2\pi}=-\frac{\pi-2\pi}{2n\pi}\cos(2n\pi)+\frac{\pi-0}{2n\pi}\cos0=-\frac{-\pi}{2n\pi}\cdot1+\frac{\pi}{2n\pi}\cdot1=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}$。积分项 $\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx=0$，故 $b_n=\frac{1}{n}$。
公式：分部积分：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
提示：注意 $\cos(2n\pi)=1$，$\cos0=1$，且 $\int_0^{2\pi}\cos nx\,dx=0$。
步骤 5/6
目标：写出傅里叶级数并讨论收敛性
由 $a_0=0$，$a_n=0$，$b_n=\frac{1}{n}$，得傅里叶级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$。由于 $f(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 内连续，且 $f(0^+)=\frac{\pi}{2}$，$f(2\pi^-)=-\frac{\pi}{2}$，而傅里叶级数在 $x=0,2\pi$ 处收敛于 $\frac{f(0^+)+f(2\pi^-)}{2}=0$。因此和函数为 $S(x)=\begin{cases} \frac{\pi-x}{2}, & x\in(0,2\pi) \\ 0, & x=0,2\pi \end{cases}$。
公式：狄利克雷收敛定理
提示：注意端点处傅里叶级数收敛于左右极限的平均值。
步骤 6/6
目标：判断一致收敛性
由于和函数 $S(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上不连续（在端点处跳跃），而傅里叶级数的每一项都是连续函数，若级数一致收敛，则和函数必连续。因此，该级数在 $[0,2\pi]$ 上非一致收敛。
公式：一致收敛的连续函数列极限函数连续
提示：注意：一致收敛的充分必要条件包括和函数连续，反之不连续则必非一致收敛。
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