中册 6.5 傅里叶级数 第8题
📝 题目
8．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}-x, x \in[0, \pi]$ ．（1）将 $f(x)$ 展开成正弦级数；（2）写出和函数；（3）该级数在 $[0, \pi]$ 是否一致收敛？
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
如图 6．12，将 $f(x)$ 作周期性奇延拓，则
$$
\begin{aligned}
a_{n} & =0, n=0,1,2, \cdots \\
b_{n} & =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin n x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{2}{n \pi}\left[\left.\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos n x\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} \cos n x \mathrm{~d} x\right] \\
& =-\left.\frac{2}{n \pi}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos n x\right|_{0} ^{\pi}=\frac{1}{n}\left[(-1)^{n}+1\right], n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-391.jpg?height=933&width=1949&top_left_y=5491&top_left_x=3612}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.12}
\end{figure}
于是 $f(x)$ 的正弦级数为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(\cos n \pi+1) \sin n x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin 2 n x$ ．
当 $x \in[0, \pi)$ 时有 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin 2 n x=\frac{\pi}{2}-x$ ；
当 $x=\pi$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin 2 n x=0$ ．
由于正弦级数的和函数不连续，所以级数在 $[0, \pi]$ 上非一致收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定展开方式：奇延拓与正弦级数
要将 $f(x)=\frac{\pi}{2}-x$ 在 $[0,\pi]$ 上展开成正弦级数，需对 $f(x)$ 进行奇延拓，即延拓后的函数为奇函数。这样傅里叶级数中余弦项系数 $a_n=0$，只剩下正弦项。
提示：注意：正弦级数对应奇延拓，余弦级数对应偶延拓。
步骤 2/7
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
正弦级数的系数公式为 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$。代入 $f(x)=\frac{\pi}{2}-x$，得
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin(nx) \, dx.
$$
公式：$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$
提示：注意积分区间是 $[0,\pi]$，因为 $f(x)$ 定义在该区间。
步骤 3/7
目标：分部积分计算 $b_n$
使用分部积分法：令 $u=\frac{\pi}{2}-x$，$dv=\sin(nx)dx$，则 $du=-dx$，$v=-\frac{1}{n}\cos(nx)$。于是
$$
\begin{aligned}
b_n &= \frac{2}{\pi} \left[ \left. -\frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(nx) \right|_0^\pi - \int_0^\pi -\frac{1}{n}\cos(nx)(-dx) \right] \\
&= \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(nx) \Big|_0^\pi - \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) \, dx \right].
\end{aligned}
$$
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意符号处理，尤其是 $du$ 的负号。
步骤 4/7
目标：简化 $b_n$ 表达式
计算边界项：
$$
\left. -\frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(nx) \right|_0^\pi = -\frac{1}{n}\left[ \left(\frac{\pi}{2}-\pi\right)\cos(n\pi) - \left(\frac{\pi}{2}-0\right)\cos(0) \right] = -\frac{1}{n}\left[ -\frac{\pi}{2}(-1)^n - \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2n}\left[(-1)^n+1\right].
$$
而积分项 $\int_0^\pi \cos(nx) \, dx = \left. \frac{1}{n}\sin(nx) \right|_0^\pi = 0$。因此
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2n}\left[(-1)^n+1\right] = \frac{1}{n}\left[(-1)^n+1\right].
$$
提示：注意 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，$\cos(0)=1$。
步骤 5/7
目标：写出正弦级数展开式
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n+1=0$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n+1=2$。令 $n=2k$，则 $b_{2k}=\frac{2}{2k}=\frac{1}{k}$。因此正弦级数为
$$
\frac{\pi}{2}-x \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left[(-1)^n+1\right] \sin(nx) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \sin(2kx).
$$
提示：注意只有偶数项非零，因此级数实际为 $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2kx)}{k}$。
步骤 6/7
目标：确定和函数
根据傅里叶级数收敛定理，在 $f(x)$ 的连续点处，级数收敛到 $f(x)$；在间断点处，收敛到左右极限的平均值。
- 当 $x \in (0,\pi)$ 时，$f(x)$ 连续，故 $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2kx)}{k} = \frac{\pi}{2}-x$。
- 当 $x=0$ 时，级数 $\sum \frac{\sin(0)}{k}=0$，而 $f(0)=\frac{\pi}{2}$，但奇延拓后 $x=0$ 处左右极限分别为 $\frac{\pi}{2}$ 和 $-\frac{\pi}{2}$，平均值为 $0$，故和函数为 $0$。
- 当 $x=\pi$ 时，$\sin(2k\pi)=0$，级数和为 $0$，而 $f(\pi)=-\frac{\pi}{2}$，但奇延拓后 $x=\pi$ 处左右极限分别为 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}$，平均值为 $0$，故和函数为 $0$。
因此和函数为
$$
S(x) = \begin{cases}
\frac{\pi}{2}-x, & 0 < x < \pi, \\
0, & x=0 \text{ 或 } x=\pi.
\end{cases}
$$
公式：傅里叶级数收敛定理：在间断点处收敛到左右极限的平均值。
提示：注意 $x=0$ 和 $x=\pi$ 是间断点，和函数与 $f(x)$ 不同。
步骤 7/7
目标：判断一致收敛性
由于和函数 $S(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处不连续（跳跃间断），而级数的每一项都是连续函数，若级数在 $[0,\pi]$ 上一致收敛，则和函数必连续。因此，该级数在 $[0,\pi]$ 上非一致收敛。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：注意：一致收敛的必要条件是和函数连续，反之不成立。
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