中册 6.5 傅里叶级数 第9题
📝 题目
9．将下列函数展成正弦级数或余弦级数，并求级数的和．
（1）$f(x)=x, x \in[0, \pi)$ 展成正弦级数和余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}$ ．
（2）将函数 $f(x)=x, x \in[0,1)$ 展成余弦级数．
（3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 和 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}(\pi-1) x, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \pi-x, 1
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由题4，函数的正弦级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin n x$ ．
当 $x \in[0, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin n x=x$ ；
当 $x=\pi$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin n x=0$ ．
由题2（1），函数的余弦级数为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{1}{3^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{5^{2}} \cos 5 x+\cdots\right)$ ．
当 $x \in[0, \pi)$ 时，$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{1}{3^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{5^{2}} \cos 5 x+\cdots\right)=x$ ；
当 $x=\pi$ 时，级数收敛于 $\pi$ ．
取 $x=0$ 得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 k-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
（2）如图 6．13，对 $f(x)$ 进行偶延拓，则 $f(x)$ 的傅里叶系数
$$
\begin{aligned}
b_{n} & =0, n=1,2, \cdots \\
a_{0} & =\frac{2}{1} \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x=1 \\
a_{n} & =\frac{2}{1} \int_{0}^{1} f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{1} x \cos n \pi x \mathrm{~d} x \\
& =\left.2\left(\frac{x \sin n \pi x}{n \pi}+\frac{\cos n \pi x}{n^{2} \pi^{2}}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{2}{n^{2} \pi^{2}}\left[(-1)^{n}-1\right], n \geqslant 1
\end{aligned}
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-392.jpg?height=747&width=1776&top_left_y=7328&top_left_x=3854}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.13}
\end{figure}
所以函数的余弦级数为 $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos [(2 n-1) \pi x]$ ．
当 $x \in[0,1)$ 时，$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos [(2 n-1) \pi x]=x$ ；
当 $x=1$ 时，级数收敛于 1 ．
（3）如图 6．14，6．15，由题 7 ，函数 $f(x)$ 的正弦级数为 $\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin n x$ ．
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-393.jpg?height=906&width=2059&top_left_y=2251&top_left_x=559}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.14}
\end{figure}
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-393.jpg?height=851&width=1942&top_left_y=2306&top_left_x=3246}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 6.15}
\end{figure}
当 $x \in[0, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin n x=f(x)$ ；当 $x=\pi$ 时，级数收敛于 0 ．
对 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}(\pi-1) x, 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \pi-x, 1
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将f(x)=x在[0,π)上展开为正弦级数
对$f(x)=x$进行奇延拓，周期为$2\pi$。正弦级数系数$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx$。计算得$b_n=\frac{2}{n}(-1)^{n+1}$。因此正弦级数为$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n}(-1)^{n+1}\sin nx$。当$x\in[0,\pi)$时，级数收敛于$x$；当$x=\pi$时，收敛于$0$。
公式：b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx
提示：注意奇延拓后函数在端点$x=\pi$处有跳跃，级数收敛于平均值。
步骤 2/8
目标：将f(x)=x在[0,π)上展开为余弦级数
对$f(x)=x$进行偶延拓，周期为$2\pi$。余弦级数系数$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\,dx=\pi$，$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\cos nx\,dx=\frac{2}{n^2\pi}[(-1)^n-1]$。因此余弦级数为$\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$。当$x\in[0,\pi)$时，级数收敛于$x$；当$x=\pi$时，收敛于$\pi$。
公式：a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx
提示：偶延拓后函数在$x=\pi$处连续，级数收敛于函数值。
步骤 3/8
目标：求级数∑1/(2k+1)^2
在余弦级数中令$x=0$，得$0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}$，所以$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。注意$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。
提示：注意下标起始，$(2k-1)$与$(2k+1)$等价。
步骤 4/8
目标：将f(x)=x在[0,1)上展开为余弦级数
对$f(x)=x$进行偶延拓，周期为$2$。系数$a_0=2\int_0^1 x\,dx=1$，$a_n=2\int_0^1 x\cos n\pi x\,dx=\frac{2}{n^2\pi^2}[(-1)^n-1]$。因此余弦级数为$\frac12-\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2k-1)\pi x}{(2k-1)^2}$。当$x\in[0,1)$时，级数收敛于$x$；当$x=1$时，收敛于$1$。
公式：a_n = 2\int_0^1 f(x)\cos n\pi x\,dx
提示：注意周期为$2$，频率为$n\pi$。
步骤 5/8
目标：将f(x)=(π-x)/2和g(x)展开为正弦级数，求∑(-1)^n/(2n-1)
由题7，$f(x)=\frac{\pi-x}{2}$的正弦级数为$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n}$。对$g(x)$奇延拓得$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi g(x)\sin nx\,dx=\frac{2\sin n}{n^2}$。令$x=\frac{\pi}{2}$，由$f$的级数得$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}=\frac{\pi}{4}$，故$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{2n-1}=-\frac{\pi}{4}$。
公式：b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi g(x)\sin nx\,dx
提示：注意$(-1)^{n-1}$与$(-1)^n$的区别。
步骤 6/8
目标：证明∑(sin n)/n = ∑(sin n/n)^2
令$x=1$，由$f$的级数得$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}=f(1)=\frac{\pi-1}{2}$。由$g$的级数得$\sum_{n=1}^\infty\frac{2\sin n}{n^2}\sin n = g(1)=\pi-1$，即$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2 n}{n^2}=\frac{\pi-1}{2}$。因此$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2 n}{n^2}$。
提示：注意$g(1)$需用定义计算。
步骤 7/8
目标：将f(x)=(x-1)^2在[0,1]上展开为余弦级数，求∑1/n^2
偶延拓周期为2。$a_0=2\int_0^1 (x-1)^2 dx=\frac23$，$a_n=2\int_0^1 (x-1)^2\cos n\pi x dx=\frac{4}{n^2\pi^2}$。余弦级数为$\frac13+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos n\pi x}{n^2}$。令$x=0$得$1=\frac13+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$，解得$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$。
公式：a_n = 2\int_0^1 f(x)\cos n\pi x\,dx
提示：注意$x=0$处级数收敛于$f(0)=1$。
步骤 8/8
目标：将f(x)=x^2在[0,π)上展开为正弦级数和余弦级数，求∑1/n^2
余弦级数：偶延拓，$a_0=\frac{2\pi^2}{3}$，$a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}$，级数为$\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$。令$x=\pi$得$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$，得$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$。正弦级数：奇延拓，$b_n=-\frac{2\pi}{n}(-1)^n+\frac{4}{n^3\pi}[(-1)^n-1]$。
公式：a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx
提示：正弦级数系数计算较复杂，注意分部积分。
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