中册 6.5 傅里叶级数 第10题

\section*{解题过程：} （1）如图6．21，$f(x)$ 按段光滑，由收玫定理知它可以展成傅里叶级数。 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为偶函数，故 $$ \begin{aligned} b_{n} & =0, n=1,2, \cdots \\ a_{0} & =\frac{2}{1} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{1}(x+2) \mathrm{d} x=5 \\ a_{n} & =\frac{2}{1} \int_{0}^{1} f(x) \cos \frac{n \pi x}{1} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{1}(x+2) \cos n \pi x \mathrm{~d} x \\ & =\left.\frac{2}{n \pi}\left[(x+2) \sin n \pi x+\frac{1}{n \pi} \cos n \pi x\right]\right|_{0} ^{1} \\ & =\frac{2}{n^{2} \pi^{2}}\left[(-1)^{n}-1\right], n=1,2, \cdots \end{aligned} $$ \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-396.jpg?height=1306&width=2018&top_left_y=3398&top_left_x=3536} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 6.21} \end{figure} 所以函数的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle f(x) \sim \frac{5}{2}-\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) \pi x$ ，且 当 $x \in[-1,1]$ 时，$\displaystyle \frac{5}{2}-\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}} \cos (2 n-1) \pi x=|x|+2$ ． 令 $x=0$ ，得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ． $$ I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{1}{4} I+\frac{\pi^{2}}{8} \text {. 于是 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \text {. } $$ （2）与（1）相同． （3）如图 6．22，为把 $f(x)$ 展开为余弦函数，将函数 $f(x)$ 作周期为 4 的偶延拓，则 $$ \begin{aligned} & b_{n}=0, n=1,2, \cdots \\ & a_{0}=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}(x-1) \mathrm{d} x=0 \\ & a_{n}=\int_{0}^{2}(x-1) \cos \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{2}{n \pi}\left[\left.(x-1) \sin \frac{n \pi x}{2}\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x\right] \end{aligned} $$ $$ =\left.\frac{4}{n^{2} \pi^{2}} \cos \frac{n \pi}{2} x\right|_{0} ^{2}=\frac{4}{n^{2} \pi^{2}}\left[(-1)^{n}-1\right], n \geqslant 1 . $$ 所以函数的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle f(x) \sim \frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[(-1)^{n}-1\right]}{n^{2}} \cos \frac{n \pi}{2} x$ ，且 当 $x \in[0,1]$ 时，$\displaystyle x-1=\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[(-1)^{n}-1\right]}{n^{2}} \cos \frac{n \pi}{2} x$ ． \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-397.jpg?height=823&width=1887&top_left_y=2058&top_left_x=773} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{．图 6.22} \end{figure} \begin{figure} \includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-397.jpg?height=671&width=1928&top_left_y=2210&top_left_x=3273} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{图 6.23} \end{figure} （4）如图6．23，$f(x)$ 按段光滑，由收玫定理知，它可以展成傅里叶级数． $$ \begin{aligned} & a_{0}=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}, \\ & a_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x=\frac{1}{n^{2} \pi^{2}}\left[(-1)^{n}-1\right], n=1,2, \cdots \\ & b_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x=\frac{(-1)^{n-1}}{n \pi}, n=1,2, \cdots . \end{aligned} $$ 所以函数的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle f(x)-\frac{1}{4}-\frac{2}{\pi^{2}}\left[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\cos (2 n-1) \pi x}{(2 n-1)^{2}}+(-1)^{n-1} \frac{\pi}{2 n} \sin n \pi x\right)\right]$ ，且 当 $x \in[0,2], x \neq 1$ 时，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}-\frac{2}{\pi^{2}}\left[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\cos (2 n-1) \pi x}{(2 n-1)^{2}}+(-1)^{n-1} \frac{\pi}{2 n} \sin n \pi x\right)\right]$ ． 当 $x=0$ 时， $\displaystyle 0=f(0)=\frac{1}{4}-\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ，即 $\displaystyle \frac{\pi^{2}}{8}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ． 于是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．