中册 6.5 傅里叶级数 第12题

\section*{解题过程：} （1）所给函数满足收玫定理的条件，因此可把 $f(x)$ 展成傅里叶级数．又由于 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 连续，且为以 $2 \pi$ 为周期的偶函数。于是 $$ \begin{aligned} & b_{n}=0, n=1,2, \cdots \\ & a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{4}{\pi}, a_{1}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos x \mathrm{~d} x=0 \\ & a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin (1-n) x+\sin (1+n) x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \frac{2}{n^{2}-1}(\cos (n-1) \pi-1),(n \neq 1) \end{aligned} $$ 于是 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{4 n^{2}-1} \cos 2 n x,-\pi \leqslant x<\pi$ ． 当 $x=0$ 时有 $\displaystyle 0=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{4 n^{2}-1}$ ．由此可得 $\displaystyle \frac{1}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots$ ． （2）对 $f(x)$ 进行奇延拓，函数的傅氏系数为 $$ \begin{aligned} & a_{n}=0, n=0,1,2, \cdots \\ & b_{1}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos x \sin x \mathrm{~d} x=0 \\ & b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos x \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin (n-1) x+\sin (1+n) x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \frac{2 n}{n^{2}-1}\left[(-1)^{n}-1\right],(n \neq 1) . \end{aligned} $$ 于是函数 $f(x)$ 的正弦级数展开式为 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 n}{n^{2}-1}\left[(-1)^{n}-1\right] \sin n x, x \in(0, \pi)$ ．