中册 6.5 傅里叶级数 第13题
📝 题目
13．设 $a$ 为不是整数的实参数，计算函数 $\cos a x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的三角级数展开式；并由此证明恒等式：$\displaystyle \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{x-n \pi}+\frac{1}{x+n \pi}\right), x \neq m \pi, m \in \mathbf{Z}$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $f(x)=\cos a x$ 按段光滑，由收玫定理知它可以展成傅里叶级数．$f(x)$ 在 $[-\pi . \pi]$ 上为偶函数，故
$$
\begin{aligned}
& b_{n}=0, n=1,2, \cdots \\
& a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos a x \mathrm{~d} x=\frac{2}{a \pi} \sin a \pi \\
& a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos a x \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}(\cos (a-n) x+\cos (a+n) x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin (a-n) \pi}{a-n}+\frac{\sin (a+n) \pi}{a+n}\right)
\end{aligned}
$$
所以 $\displaystyle \cos a x=\frac{\sin a \pi}{a \pi}+\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin (a-n) \pi}{a-n}+\frac{\sin (a+n) \pi}{a+n}\right) \cos n x, x \in[-\pi, \pi]$ ．
在上式中，令 $x=0$ ，得
$$
1=\frac{\sin a \pi}{a \pi}+\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin (a-n) \pi}{a-n}+\frac{\sin (a+n) \pi}{a+n}\right) .
$$
简化得
$$
1=\frac{\sin a \pi}{a \pi}+\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{\sin a \pi}{a-n}+\frac{\sin a \pi}{a+n}\right),
$$
即
$$
\frac{1}{\sin a \pi}=\frac{1}{a \pi}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{a \pi-n \pi}+\frac{1}{a \pi+n \pi}\right) .
$$
在上式中令 $\displaystyle x=a \pi, \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{x-n \pi}+\frac{1}{x+n \pi}\right), x \neq m \pi, m \in \mathbf{Z}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断函数性质并写出傅里叶系数公式
由于 $f(x)=\cos a x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数且按段光滑，故其傅里叶级数只含余弦项，即 $b_n=0$。系数公式为：
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \cos a x \, dx, \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \cos a x \cos n x \, dx.$$
公式：傅里叶系数公式：$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)dx$, $a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx dx$
提示：注意偶函数性质简化计算，$b_n=0$。
步骤 2/8
目标：计算系数 $a_0$
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \cos a x \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\sin a x}{a} \Big|_0^\pi = \frac{2 \sin a \pi}{a \pi}.$$
公式：$\int \cos(ax)dx = \frac{\sin(ax)}{a}$
提示：注意 $a$ 不是整数，分母不为零。
步骤 3/8
目标：计算系数 $a_n$
利用积化和差公式：
$$\cos a x \cos n x = \frac{1}{2}[\cos(a-n)x + \cos(a+n)x].$$
所以
$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{1}{2}[\cos(a-n)x + \cos(a+n)x] dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi [\cos(a-n)x + \cos(a+n)x] dx.$$
积分得
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin(a-n)\pi}{a-n} + \frac{\sin(a+n)\pi}{a+n} \right).$$
公式：积化和差：$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$
提示：注意 $a$ 不是整数，分母 $a \pm n$ 不为零。
步骤 4/8
目标：写出傅里叶级数展开式
将系数代入傅里叶级数：
$$\cos a x = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos n x = \frac{\sin a \pi}{a \pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{\sin(a-n)\pi}{a-n} + \frac{\sin(a+n)\pi}{a+n} \right) \cos n x, \quad x \in [-\pi, \pi].$$
公式：傅里叶级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
提示：注意 $a_0/2$ 项，不要漏掉分母2。
步骤 5/8
目标：代入 $x=0$ 得到数值等式
令 $x=0$，则 $\cos 0 = 1$，$\cos n \cdot 0 = 1$，代入得：
$$1 = \frac{\sin a \pi}{a \pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{\sin(a-n)\pi}{a-n} + \frac{\sin(a+n)\pi}{a+n} \right).$$
提示：注意 $\cos 0=1$，级数求和从 $n=1$ 开始。
步骤 6/8
目标：利用三角恒等式化简
由于 $\sin(a \pm n)\pi = \sin(a\pi \pm n\pi) = \sin a\pi \cos n\pi \pm \cos a\pi \sin n\pi = \sin a\pi \cdot (-1)^n$，因为 $\cos n\pi = (-1)^n$，$\sin n\pi = 0$。所以
$$\frac{\sin(a-n)\pi}{a-n} + \frac{\sin(a+n)\pi}{a+n} = (-1)^n \sin a\pi \left( \frac{1}{a-n} + \frac{1}{a+n} \right).$$
代入得：
$$1 = \frac{\sin a\pi}{a\pi} + \frac{\sin a\pi}{\pi} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1}{a-n} + \frac{1}{a+n} \right).$$
公式：$\sin(\alpha \pm n\pi) = (-1)^n \sin \alpha$
提示：注意 $\sin(a\pi)$ 不为零，因为 $a$ 不是整数。
步骤 7/8
目标：整理得到关于 $\sin a\pi$ 的恒等式
将上式两边除以 $\sin a\pi$（非零），得：
$$\frac{1}{\sin a\pi} = \frac{1}{a\pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1}{a-n} + \frac{1}{a+n} \right).$$
两边乘以 $\pi$ 得：
$$\frac{\pi}{\sin a\pi} = \frac{1}{a} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1}{a-n} + \frac{1}{a+n} \right).$$
提示：注意除以 $\sin a\pi$ 时确保其不为零。
步骤 8/8
目标：变量代换得到最终恒等式
令 $x = a\pi$，则 $a = x/\pi$，代入上式：
$$\frac{\pi}{\sin x} = \frac{\pi}{x} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1}{\frac{x}{\pi} - n} + \frac{1}{\frac{x}{\pi} + n} \right).$$
右边通分：$\frac{1}{\frac{x}{\pi} \pm n} = \frac{\pi}{x \pm n\pi}$，所以
$$\frac{\pi}{\sin x} = \frac{\pi}{x} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{\pi}{x - n\pi} + \frac{\pi}{x + n\pi} \right).$$
两边除以 $\pi$ 即得：
$$\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \frac{1}{x - n\pi} + \frac{1}{x + n\pi} \right), \quad x \neq m\pi, m \in \mathbb{Z}.$$
提示：注意代换后分母不为零的条件：$x \neq m\pi$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。