中册 6.5 傅里叶级数 第15题
📝 题目
15．设 $f(x) \in C[0, \pi]$ ，且对任意的正整数 $n$ 有 $f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0$ ，证明 $f(x)$ 为常数函数．
💡 答案解析
解题分析：为了利用已知条件 $\int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0$ ，首先对 $f(x)$ 进行延拓，使其满足傅里叶展开式的要求。
\section*{解题过程：}
作 函数 $F(x)$ ，使 $F(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的偶函数，当 $x \in(0, \pi)$ 时，$F(x)=f(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $(-\pi, 0) \cup(0, \pi)$ 上连续，在 $[-\pi, \pi]$ 可积．于是
$$
\begin{aligned}
& b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0, \quad(n=1,2, \cdots) \\
& a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x \\
& a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} F(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0, \quad(n=1,2, \cdots)
\end{aligned}
$$
所以 $F(x)$ 的傅里叶级数展开式为 $\displaystyle \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \sim F(x)$ ．
级数的部分和 $\displaystyle S_{N}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)=\frac{a_{0}}{2}$ ．
$\left\{S_{N}(x)\right\}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 中收玫于 $F(x)$ ，且 $\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi}\left|F(x)-S_{N}(x)\right|^{2} d x=0$ ，从而
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left|F(x)-\frac{a_{0}}{2}\right|^{2} \mathrm{~d} x=0
$$
当然也有
$$
\int_{0}^{\pi}\left|f(x)-\frac{a_{0}}{2}\right|^{2} \mathrm{~d} x=0 .
$$
由 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续知 $\displaystyle \left|f(x)-\frac{a_{0}}{2}\right|^{2}=0$ ．由此得 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}, f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上为常值函数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造偶周期延拓函数
定义函数 $F(x)$ 为周期 $2\pi$ 的偶函数，且在 $(0,\pi)$ 上 $F(x)=f(x)$。由于 $f(x)\in C[0,\pi]$，$F(x)$ 在 $(-\pi,0)\cup(0,\pi)$ 上连续，在 $[-\pi,\pi]$ 上可积。
提示：注意延拓后函数在 $x=0$ 和 $x=\pm\pi$ 处可能不连续，但不影响傅里叶级数的收敛性。
步骤 2/6
目标：计算傅里叶系数
由于 $F(x)$ 是偶函数，正弦系数 $b_n=0$。余弦系数：$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,dx$；对于 $n\ge1$，$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx=0$（由已知条件）。
公式：$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos nx\,dx=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx$
提示：注意 $a_0$ 的表达式与 $a_n$ 不同，不要混淆。
步骤 3/6
目标：写出傅里叶级数部分和
傅里叶级数为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。代入 $a_n=0,b_n=0$，部分和 $S_N(x)=\frac{a_0}{2}$ 为常数。
公式：$S_N(x)=\frac{a_0}{2}$
提示：部分和与 $N$ 无关，恒为常数。
步骤 4/6
目标：利用傅里叶级数的均方收敛性
由于 $F(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，其傅里叶级数在均方意义下收敛到 $F(x)$，即 $\lim_{N\to\infty}\int_{-\pi}^\pi |F(x)-S_N(x)|^2\,dx=0$。代入 $S_N(x)=\frac{a_0}{2}$ 得 $\int_{-\pi}^\pi |F(x)-\frac{a_0}{2}|^2\,dx=0$。
公式：$\lim_{N\to\infty}\int_{-\pi}^\pi |F(x)-S_N(x)|^2\,dx=0$
提示：均方收敛是傅里叶级数的重要性质，注意这里 $F(x)$ 可能不连续，但均方收敛仍然成立。
步骤 5/6
目标：转化为 $f(x)$ 上的积分
由于 $F(x)$ 是偶函数，积分区间可缩小到 $[0,\pi]$：$\int_0^\pi |f(x)-\frac{a_0}{2}|^2\,dx=0$。
公式：$\int_0^\pi |f(x)-\frac{a_0}{2}|^2\,dx=0$
提示：注意 $F(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上等于 $f(x)$，且积分区间长度减半，但被积函数非负，积分值为零。
步骤 6/6
目标：由连续性推出被积函数恒为零
由于 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续，$|f(x)-\frac{a_0}{2}|^2$ 也连续。非负连续函数的积分为零意味着该函数恒为零，故 $f(x)=\frac{a_0}{2}$ 为常数。
提示：连续性是关键，否则只能得到几乎处处相等。
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