中册 6.5 傅里叶级数 第16题
📝 题目
16．设周期为 $2 \pi$ 的可积函数 $\varphi(x)$ 与 $\phi(x)$ 满足关系式：$\varphi(-x)=-\phi(x)$ ，则给出函数 $\varphi(x)$ 的傅里叶系数 $a_{n}, b_{n}$ 与函数 $\phi(x)$ 的傅里叶系数 $\alpha_{n}, \beta_{n}$ 之间的关系。
💡 答案解析
解题分析：主要考查函数的傅里叶展开，由关系式：$\varphi(-x)=-\phi(x)$ ，作变换 $t=-x$ 。
解题过程：
$$
\begin{aligned}
a_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \varphi(-t) \cos (-n t)(-\mathrm{dt})=-\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(t) \cos n t \mathrm{~d} t=-\alpha_{n}, n=0,1,2, \cdots \\
b_{n} & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \varphi(-t) \sin (-n t)(-\mathrm{dt})=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}-\varphi(-t) \sin n t \mathrm{~d} t \\
& =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(t) \sin n t \mathrm{~d} t=\beta_{n}, n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和目标
已知周期为 $2\pi$ 的可积函数 $\varphi(x)$ 与 $\phi(x)$ 满足 $\varphi(-x) = -\phi(x)$。需要找出 $\varphi$ 的傅里叶系数 $a_n, b_n$ 与 $\phi$ 的傅里叶系数 $\alpha_n, \beta_n$ 之间的关系。傅里叶系数定义为：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \sin nx \, dx$$
$$\alpha_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \cos nx \, dx, \quad \beta_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(x) \sin nx \, dx$$
提示：注意傅里叶系数的定义中积分区间为 $[-\pi, \pi]$，且 $n$ 为整数。
步骤 2/4
目标：推导 $a_n$ 与 $\alpha_n$ 的关系
考虑 $a_n$ 的表达式，做变量代换 $x = -t$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $\pi$ 到 $-\pi$：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \cos nx \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \varphi(-t) \cos(-nt) \, (-dt)$$
由于 $\cos(-nt) = \cos nt$，且 $\varphi(-t) = -\phi(t)$，代入得：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} (-\phi(t)) \cos nt \, (-dt) = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \phi(t) \cos nt \, dt$$
交换积分限，积分变号：
$$a_n = -\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(t) \cos nt \, dt = -\alpha_n$$
因此，$a_n = -\alpha_n$，对 $n=0,1,2,\dots$ 成立。
公式：$$a_n = -\alpha_n$$
提示：注意积分限变换时符号的处理：$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$。
步骤 3/4
目标：推导 $b_n$ 与 $\beta_n$ 的关系
考虑 $b_n$ 的表达式，同样做变量代换 $x = -t$，$dx = -dt$：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(x) \sin nx \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \varphi(-t) \sin(-nt) \, (-dt)$$
由于 $\sin(-nt) = -\sin nt$，且 $\varphi(-t) = -\phi(t)$，代入得：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} (-\phi(t)) \cdot (-\sin nt) \, (-dt) = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \phi(t) \sin nt \, (-dt)$$
注意这里有一个负号：$(-\phi(t)) \cdot (-\sin nt) = \phi(t) \sin nt$，再乘以 $(-dt)$ 得 $-\phi(t) \sin nt \, dt$。所以：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} (-\phi(t) \sin nt) \, dt = -\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{-\pi} \phi(t) \sin nt \, dt$$
交换积分限，积分变号：
$$b_n = -\frac{1}{\pi} \left( -\int_{-\pi}^{\pi} \phi(t) \sin nt \, dt \right) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi(t) \sin nt \, dt = \beta_n$$
因此，$b_n = \beta_n$，对 $n=1,2,\dots$ 成立。
公式：$$b_n = \beta_n$$
提示：注意符号的累积：$\sin(-nt) = -\sin nt$，$\varphi(-t) = -\phi(t)$，乘积得正，但 $dx = -dt$ 带来一个负号，最终结果为正。
步骤 4/4
目标：总结关系
综上，我们得到 $\varphi$ 与 $\phi$ 的傅里叶系数之间的关系为：
$$a_n = -\alpha_n, \quad b_n = \beta_n$$
其中 $n=0,1,2,\dots$ 对于 $a_n$ 和 $\alpha_n$，$n=1,2,\dots$ 对于 $b_n$ 和 $\beta_n$。注意 $b_0$ 和 $\beta_0$ 通常定义为0，但这里 $n$ 从1开始。
提示：注意 $a_0$ 与 $\alpha_0$ 的关系也成立，因为 $\cos 0 = 1$，推导中 $n=0$ 时同样适用。
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