中册 6.5 傅里叶级数 第17题
📝 题目
17．设函数 $f(x)$ 满足条件：$f(x+\pi)=-f(x)$ ，问此函数在 $(-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数满足什么特性。
💡 答案解析
解题过程：
$$
a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi}\left(-\int_{-\pi}^{0} f(x+\pi) \cos n x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x\right),(n=0,1,2, \cdots) .
$$
在上式右端第一个积分中令 $x+\pi=y$ ，则得
$$
a_{n}=\frac{1}{\pi}\left(-\int_{0}^{\pi} f(y) \cos n(y-\pi) \mathrm{d} y+\int_{0}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x\right)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left[(-1)^{n+1}+1\right] f(x) \cos n x \mathrm{~d} x .
$$
于是有 $a_{2 n}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ；
同理有 $b_{2 n}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ．
因此函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数的特性为：$a_{2 n}=0, b_{2 n}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出傅里叶系数公式
函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上的傅里叶级数为 $\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$，其中系数为：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx.$$
公式：a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx
提示：注意积分区间是 $(-\pi, \pi)$，且 $n$ 从0开始，但 $b_0$ 无意义。
步骤 2/7
目标：利用条件拆分积分区间
由条件 $f(x+\pi) = -f(x)$，可得 $f(x) = -f(x+\pi)$。将 $a_n$ 的积分区间 $[-\pi, \pi]$ 拆分为 $[-\pi, 0]$ 和 $[0, \pi]$：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} f(x) \cos nx \, dx + \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \right).$$
对第一个积分，令 $x = y - \pi$，则 $dx = dy$，当 $x=-\pi$ 时 $y=0$，$x=0$ 时 $y=\pi$，且 $f(x) = f(y-\pi) = -f(y)$（因为 $f(y-\pi+\pi)=f(y)=-f(y-\pi)$），所以
$$\int_{-\pi}^{0} f(x) \cos nx \, dx = \int_{0}^{\pi} (-f(y)) \cos n(y-\pi) \, dy = -\int_{0}^{\pi} f(y) \cos n(y-\pi) \, dy.$$
提示：注意变量替换时积分限的变化，以及 $f(x+\pi) = -f(x)$ 的灵活使用。
步骤 3/7
目标：简化 $a_n$ 表达式
将上述结果代入 $a_n$：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( -\int_{0}^{\pi} f(y) \cos n(y-\pi) \, dy + \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \right).$$
利用三角恒等式 $\cos n(y-\pi) = \cos(ny - n\pi) = \cos ny \cos n\pi + \sin ny \sin n\pi = (-1)^n \cos ny$，得
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( -\int_{0}^{\pi} f(y) (-1)^n \cos ny \, dy + \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ (-1)^{n+1} + 1 \right] f(x) \cos nx \, dx.$$
公式：\cos n(y-\pi) = (-1)^n \cos ny
提示：注意 $(-1)^{n+1}+1$ 的取值：当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n+1}=1$，和为2；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^{n+1}=-1$，和为0。
步骤 4/7
目标：得到 $a_n$ 的奇偶性结论
由 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ (-1)^{n+1} + 1 \right] f(x) \cos nx \, dx$ 可知：
- 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^{n+1}+1 = 0$，所以 $a_n = 0$。
- 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n+1}+1 = 2$，所以 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx$，不一定为零。
因此，$a_{2n} = 0$ 对所有 $n=0,1,2,\ldots$ 成立（注意 $a_0$ 对应 $n=0$，为偶数，故 $a_0=0$）。
提示：注意 $n=0$ 时，$(-1)^{0+1}+1 = -1+1=0$，所以 $a_0=0$。
步骤 5/7
目标：类似推导 $b_n$
对 $b_n$ 进行相同处理：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} f(x) \sin nx \, dx + \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \right).$$
令 $x = y-\pi$，则 $\int_{-\pi}^{0} f(x) \sin nx \, dx = \int_{0}^{\pi} (-f(y)) \sin n(y-\pi) \, dy = -\int_{0}^{\pi} f(y) \sin n(y-\pi) \, dy$。
利用 $\sin n(y-\pi) = \sin(ny - n\pi) = \sin ny \cos n\pi - \cos ny \sin n\pi = (-1)^n \sin ny$，得
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\int_{0}^{\pi} f(y) (-1)^n \sin ny \, dy + \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ (-1)^{n+1} + 1 \right] f(x) \sin nx \, dx.$$
公式：\sin n(y-\pi) = (-1)^n \sin ny
提示：注意 $\sin$ 的符号变化与 $\cos$ 类似，但 $\sin$ 是奇函数，此处不影响。
步骤 6/7
目标：得到 $b_n$ 的奇偶性结论
由 $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ (-1)^{n+1} + 1 \right] f(x) \sin nx \, dx$ 可知：
- 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^{n+1}+1 = 0$，所以 $b_n = 0$。
- 当 $n$ 为奇数时，$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx$，不一定为零。
因此，$b_{2n} = 0$ 对所有 $n=0,1,2,\ldots$ 成立（注意 $b_0$ 无定义，但通常不考虑）。
提示：注意 $b_0$ 不存在，所以结论从 $n=1$ 开始，但 $n=0$ 对应 $b_0$ 无意义。
步骤 7/7
目标：总结傅里叶级数的特性
综合以上，函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数中，所有偶数项系数均为零，即 $a_{2n}=0$，$b_{2n}=0$（$n=0,1,2,\ldots$）。因此傅里叶级数只包含奇次谐波（$n$ 为奇数）的项。
提示：注意 $a_0$ 也属于偶数项，所以 $a_0=0$，级数常数项为零。
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