中册 6.5 傅里叶级数 第25题
📝 题目
25．设 $f(x), g(x)$ 是 $[-\pi, \pi]$ 上的 Riemann 可积函数且以 $2 \pi$ 为周期．证明：$f(x)$ 与 $g(x)$ 具有相同的傅里叶系数的充要条件是 $\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
只需证明 $a=-\pi, b=\pi$ 的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．
记 $a_{n}, b_{n}$ 为 $f(x)$ 的傅里叶系数，$A_{n}, B_{n}$ 为 $g(x)$ 的傅里叶系数。
充分性：设 $\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ，则
$$
\left|a_{n}-A_{n}\right| \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x) \cos n x-g(x) \cos n x| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0 .
$$
从而 $a_{n}=A_{n}$ ．
同理 $b_{n}=B_{n}$ ．
必要性：若 $f(x), g(x)$ 的傅里叶展开式有相同的系数，从而 $f(x)-g(x)$ 的傅里叶系数都为 0 ．因为 $f(x), g(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上黎曼可积，从而 $f(x)-g(x),(f(x)-g(x))^{2}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上黎曼可积．
由 Parseval 等式得 $\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{~d} x=0$ ．
又由 Schwarz 不等式得
$$
\left(\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 2 \pi \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^{2} \mathrm{~d} x=0,
$$
从而 $\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与记号
设 $f(x), g(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上 Riemann 可积且以 $2\pi$ 为周期。记 $a_n, b_n$ 为 $f$ 的傅里叶系数，$A_n, B_n$ 为 $g$ 的傅里叶系数。需要证明：$a_n = A_n, b_n = B_n$ 对所有 $n$ 成立当且仅当 $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| dx = 0$。
提示：注意傅里叶系数的定义：$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$, $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$。
步骤 2/5
目标：证明充分性：由积分零推出系数相等
假设 $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| dx = 0$。考虑 $a_n - A_n$：
$$
|a_n - A_n| = \left| \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x)-g(x)) \cos(nx) dx \right| \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| |\cos(nx)| dx \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| dx = 0.
$$
因此 $a_n = A_n$。同理，利用 $|\sin(nx)| \leq 1$ 可得 $b_n = B_n$。
公式：$|\int h(x) dx| \leq \int |h(x)| dx$
提示：注意 $|\cos(nx)| \leq 1$，所以积分绝对值不等式成立。
步骤 3/5
目标：证明必要性：由系数相等推出积分零（思路）
假设 $f$ 和 $g$ 的傅里叶系数全部相等，则 $h(x) = f(x) - g(x)$ 的傅里叶系数全为零。由于 $f,g$ Riemann 可积，$h$ 和 $h^2$ 也可积。利用 Parseval 等式：$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} h^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$，其中 $a_n, b_n$ 是 $h$ 的系数，均为零，故 $\int_{-\pi}^{\pi} h^2(x) dx = 0$。
公式：Parseval 等式：$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)$
提示：Parseval 等式要求 $f$ 平方可积，这里 $h$ 可积且平方可积（因为 $h$ 有界？实际上 Riemann 可积函数平方也可积，但需注意 $h$ 可能无界？但题目中 $f,g$ 在闭区间上 Riemann 可积，故有界，所以 $h^2$ 可积）。
步骤 4/5
目标：应用 Schwarz 不等式得到 $L^1$ 范数为零
由 Schwarz 不等式：
$$
\left( \int_{-\pi}^{\pi} |h(x)| dx \right)^2 \leq \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dx \right) \left( \int_{-\pi}^{\pi} |h(x)|^2 dx \right) = 2\pi \cdot 0 = 0,
$$
因此 $\int_{-\pi}^{\pi} |h(x)| dx = 0$，即 $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| dx = 0$。
公式：Schwarz 不等式：$(\int |uv|)^2 \leq (\int u^2)(\int v^2)$
提示：这里取 $u=1$, $v=|h|$，注意积分区间长度为 $2\pi$。
步骤 5/5
目标：总结
综上，我们证明了 $f$ 与 $g$ 具有相同傅里叶系数当且仅当 $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)-g(x)| dx = 0$。
提示：注意题目中 $f,g$ 以 $2\pi$ 为周期，但积分区间只需一个周期。
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