中册 6.5 傅里叶级数 第26题
📝 题目
26．设 $f(x)$ 为 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的可积函数，应如何延拓 $f(x)$ 到 $(-\pi, \pi)$ 才能使其在 $(-\pi, \pi)$ 内的傅里叶级数具有形式 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (2 n-1) x$ 。南航 2013，西安交大 1999）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
假设延拓后的函数为 $\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}g(-x),-\pi \leqslant x<-\frac{\pi}{2}, \\ f(-x),-\frac{\pi}{2} \leqslant x<0, \\ f(x), 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ g(x), \frac{\pi}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定延拓目标
题目要求将定义在 $[0,\pi/2]$ 上的可积函数 $f(x)$ 延拓到 $(-\pi,\pi)$，使得其傅里叶级数只含奇次余弦项，即形式为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} \cos(2n-1)x$。这意味着延拓后的函数 $F(x)$ 必须是偶函数（以保证正弦项系数为零），且其傅里叶系数中偶次余弦项 $a_{2n}=0$。
提示：注意傅里叶级数形式中只有余弦项，且余弦项下标为奇数，因此需要同时满足偶函数和偶次余弦项为零两个条件。
步骤 2/6
目标：构造偶延拓形式
设延拓后的函数 $F(x)$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上为偶函数，且分段定义如下：
$$
F(x)=\begin{cases}
g(-x), & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2}, \\
f(-x), & -\frac{\pi}{2} \leq x < 0, \\
f(x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\
g(x), & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi.
\end{cases}
$$
其中 $g(x)$ 是定义在 $(\pi/2,\pi]$ 上的待定可积函数。由于 $F(x)$ 是偶函数，正弦项系数 $b_n=0$。
公式：偶函数傅里叶系数：$b_n=0$，$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi F(x)\cos nx\,dx$
提示：注意分段定义中，负半轴部分由偶函数性质得到，即 $F(-x)=F(x)$。
步骤 3/6
目标：计算偶次余弦系数
计算 $a_{2n}$：
$$
a_{2n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi F(x)\cos 2nx\,dx = \frac{2}{\pi}\left(\int_0^{\pi/2} f(x)\cos 2nx\,dx + \int_{\pi/2}^\pi g(x)\cos 2nx\,dx\right).
$$
对第二个积分作变量代换 $x=\pi-t$，则 $dx=-dt$，积分限变为 $t$ 从 $\pi/2$ 到 $0$：
$$
\int_{\pi/2}^\pi g(x)\cos 2nx\,dx = -\int_{\pi/2}^0 g(\pi-t)\cos(2n\pi-2nt)\,dt = \int_0^{\pi/2} g(\pi-t)\cos 2nt\,dt.
$$
因此
$$
a_{2n}=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} [f(x)+g(\pi-x)]\cos 2nx\,dx.
$$
公式：$\cos(2n\pi-2nt)=\cos 2nt$
提示：注意积分限变换时符号的变化，以及余弦函数的周期性。
步骤 4/6
目标：令偶次余弦系数为零
为使 $a_{2n}=0$ 对所有 $n=0,1,2,\dots$ 成立，只需被积函数 $f(x)+g(\pi-x)\equiv 0$ 在 $[0,\pi/2]$ 上几乎处处成立。即
$$
g(\pi-x) = -f(x), \quad \forall x\in[0,\pi/2].
$$
提示：注意 $n=0$ 时 $\cos 0=1$，条件同样适用。
步骤 5/6
目标：确定 $g(x)$ 的表达式
由 $g(\pi-x)=-f(x)$，令 $t=\pi-x$，则 $x=\pi-t$，当 $x\in[0,\pi/2]$ 时，$t\in[\pi/2,\pi]$。代入得
$$
g(t) = -f(\pi-t), \quad \forall t\in[\pi/2,\pi].
$$
即 $g(x) = -f(\pi-x)$ 对 $x\in(\pi/2,\pi]$ 成立。
提示：注意变量替换后定义域的变化，确保 $g$ 定义在 $(\pi/2,\pi]$ 上。
步骤 6/6
目标：写出最终延拓函数
将 $g(x)$ 代入 $F(x)$ 的分段表达式，得到延拓后的函数：
$$
F(x)=\begin{cases}
-f(\pi+x), & -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2}, \\
f(-x), & -\frac{\pi}{2} \leq x < 0, \\
f(x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \\
-f(\pi-x), & \frac{\pi}{2} < x \leq \pi.
\end{cases}
$$
该函数在 $(-\pi,\pi)$ 上是偶函数，且傅里叶级数只含奇次余弦项。
提示：注意负半轴部分 $x<0$ 时，$F(x)=F(-x)$ 以及 $g$ 的表达式要正确代入。
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