中册 6.5 傅里叶级数 第27题
📝 题目
27．证明函数系 $\{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 是 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正交系。又对 $\displaystyle f(x)=x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，应如何延拓到 $(-\pi, \pi)$ ，才能使 $f(x)$ 的傅里叶级数恰为按函数系 $\{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 的展开式？求此展开式，并作出延拓到 $[-\pi, \pi]$ 上的图形．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $m, n=0,1,2, \cdots$ ，且 $m \neq n$ ，由于
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (2 n+1) x \sin (2 m+1) x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos 2(n-m) x-\cos 2(n+m+1) x) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi}(\cos (n-m) t-\cos (n+m+1) t) \mathrm{d} t \\
& =\left.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-m}(\sin (n-m) \pi-1)-\frac{1}{n+m+1}(\sin (n+m+1) \pi-1)\right)\right|_{0} ^{\pi}=0 .
\end{aligned}
$$
所以函数系 $\{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 是 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的正交系．
对 $\displaystyle f(x)=x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，如图 6．30，作如下的延拓到 $(-\pi, \pi)$ ，能使 $f(x)$ 的傅里叶级数恰为按函数系 $\{\sin (2 n+1) x\}_{n=0}^{\infty}$ 的展开式：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\pi-x, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \\
x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\
x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \\
-\pi-x, x \in\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right)
\end{array}\right.
$$
\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/f12c872f-2d5e-49ed-83c0-1c7e59b03c5d-415.jpg?height=864&width=1334&top_left_y=3191&top_left_x=4268}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图6．30}
\end{figure}
显然，$f(x)$ 在 $(-\pi, \pi)$ 是奇函数．于是
$$
\begin{aligned}
a_{n} & =0, n=0,1,2, \cdots \\
b_{n} & =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin n x \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(\pi-x) \sin n x \mathrm{~d} x\right) \\
& =-\left.\frac{2}{n \pi}\left(x \cos n x-\frac{1}{n} \sin n x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.\frac{2}{n \pi}\left((\pi-x) \cos n x+\frac{1}{n} \sin n x\right)\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} \\
& =-\frac{2}{n \pi} \frac{\pi}{2} \cos \frac{n \pi}{2}+\frac{2}{n \pi} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{2}+\frac{2}{n \pi}\left(\pi-\frac{\pi}{2}\right) \cos \frac{n \pi}{2}+\frac{2}{n \pi} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{2}=\frac{4}{n^{2} \pi} \sin \frac{n \pi}{2}
\end{aligned}
$$
则所求的展开式为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{n-1}}{(2 n-1)^{2} \pi} \sin (2 n-1) x$ ．
\title{
研究生入学考试数学分析真题集解（中册） \\ YANJIUSHENG RUXUE KAOSHI SHUXUE FENXI ZHENTI JIJIE（ ZHONG CE ）
}
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数系的正交性
设 $m, n=0,1,2,\cdots$ 且 $m \neq n$，计算内积：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) \sin((2m+1)x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2(n-m)x) - \cos(2(n+m+1)x)] \, dx.
$$
令 $t=2x$，则 $dx = dt/2$，积分限变为 $0$ 到 $\pi$：
$$
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} [\cos((n-m)t) - \cos((n+m+1)t)] \, dt.
$$
计算得：
$$
= \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin((n-m)t)}{n-m} - \frac{\sin((n+m+1)t)}{n+m+1} \right]_{0}^{\pi} = 0.
$$
因此函数系在 $[0, \pi/2]$ 上正交。
公式：$$\int \sin(ax)\sin(bx)\,dx = \frac{1}{2}\int [\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)]\,dx$$
提示：注意积分区间变换时，$t=2x$ 要正确代入，且 $\sin(k\pi)=0$ 对整数 $k$ 成立。
步骤 2/6
目标：确定延拓方式
为使 $f(x)=x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上的傅里叶级数仅含 $\sin((2n+1)x)$ 项，需将 $f$ 延拓为 $(-\pi,\pi)$ 上的奇函数，且满足 $f(\pi/2 + t) = f(\pi/2 - t)$（关于 $x=\pi/2$ 对称），从而消除偶次谐波。延拓定义为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\pi - x, & x \in (\pi/2, \pi), \\
x, & x \in (0, \pi/2), \\
x, & x \in (-\pi/2, 0), \\
-\pi - x, & x \in (-\pi, -\pi/2).
\end{cases}
$$
此函数为奇函数，且周期为 $2\pi$。
提示：延拓需保证傅里叶级数只含正弦项且 $n$ 为奇数，注意对称性条件。
步骤 3/6
目标：计算傅里叶系数 $a_n$
由于 $f(x)$ 是奇函数，$a_n = 0$ 对所有 $n=0,1,2,\cdots$ 成立。
公式：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\,dx = 0$$
提示：奇函数的傅里叶余弦系数为零。
步骤 4/6
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
利用奇函数性质，$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx)\,dx$。将 $[0,\pi]$ 分为 $[0,\pi/2]$ 和 $[\pi/2,\pi]$：
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi/2} x \sin(nx)\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx)\,dx \right).
$$
分别积分：
$$
\int x \sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2},
$$
$$
\int (\pi - x) \sin(nx)\,dx = -\frac{(\pi - x)\cos(nx)}{n} - \frac{\sin(nx)}{n^2}.
$$
代入上下限并化简得：
$$
b_n = \frac{4}{n^2\pi} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right).
$$
公式：$$\int x \sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}$$
提示：注意分部积分公式的正确使用，以及代入上下限时符号的处理。
步骤 5/6
目标：化简 $b_n$ 并写出傅里叶级数
由于 $\sin(n\pi/2)$ 在 $n$ 为偶数时为零，在 $n$ 为奇数时等于 $(-1)^{(n-1)/2}$。令 $n=2k-1$（$k=1,2,\cdots$），则 $b_{2k-1} = \frac{4}{(2k-1)^2\pi} (-1)^{k-1}$。因此傅里叶级数为：
$$
f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2\pi} \sin((2k-1)x).
$$
这正是按函数系 $\{\sin((2n+1)x)\}_{n=0}^{\infty}$ 的展开式（令 $n=k-1$）。
公式：$$\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) = \begin{cases} 0, & n \text{ 偶} \\ (-1)^{(n-1)/2}, & n \text{ 奇} \end{cases}$$
提示：注意 $n$ 为奇数时 $\sin(n\pi/2)$ 的符号规律，以及级数求和指标转换。
步骤 6/6
目标：作出延拓后的图形
延拓后的函数 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的图形：在 $[-\pi,-\pi/2]$ 上为 $f(x)=-\pi-x$（斜率为 $-1$ 的直线段），在 $[-\pi/2,0]$ 上为 $f(x)=x$，在 $[0,\pi/2]$ 上为 $f(x)=x$，在 $[\pi/2,\pi]$ 上为 $f(x)=\pi-x$。整体呈奇函数对称，且关于 $x=\pi/2$ 对称。图形类似一个“锯齿波”，但顶部被削平。
提示：注意图形在 $x=\pm\pi/2$ 处连续，在 $x=\pm\pi$ 处有跳跃（但延拓后周期为 $2\pi$，跳跃点对应 $x=\pi$ 和 $x=-\pi$ 处值不同）。
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