上册 1.1 数列极限 第1题
📝 题目
1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}=2$ ．
💡 答案解析
$n \geqslant 2$ 时，
$$
\left|\frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}-2\right|=\left|\frac{3}{n^{2}-1}\right| \leqslant 3\left|\frac{1}{n^{2}-\frac{n^{2}}{2}}\right| \leqslant \frac{6}{n^{2}}<\frac{6}{n} .
$$
对 $\forall \varepsilon>0$ ，解不等式 $\displaystyle \frac{6}{n}<\varepsilon$ ，得 $\displaystyle n>\frac{6}{\varepsilon}$ ．只要取 $\displaystyle N=\left[\frac{6}{\varepsilon}\right]+2$ ，则当 $n>N$ 时，有
$$
\left|\frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}-2\right|<\frac{6}{n}<\varepsilon .
$$
于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}=2$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简表达式
当 $n \geq 2$ 时，计算 $\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1} - 2\right|$。通分得：
$$\left|\frac{2n^2+1 - 2(n^2-1)}{n^2-1}\right| = \left|\frac{2n^2+1 - 2n^2 + 2}{n^2-1}\right| = \left|\frac{3}{n^2-1}\right|.$$
提示：注意通分时符号不要出错，分子相减要小心。
步骤 2/5
目标：放缩不等式
由于 $n \geq 2$，有 $n^2-1 \geq n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{n^2}{2}$，所以 $\frac{3}{n^2-1} \leq \frac{3}{n^2/2} = \frac{6}{n^2}$。进一步放缩：$\frac{6}{n^2} \leq \frac{6}{n}$（因为 $n \geq 1$）。因此：
$$\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1} - 2\right| \leq \frac{6}{n}.$$
公式：放缩不等式：$\frac{1}{n^2-1} \leq \frac{2}{n^2}$ 当 $n \geq 2$
提示：放缩时注意分母越大分数越小，要确保不等式方向正确。
步骤 3/5
目标：设定ε并解不等式
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，要使 $\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1} - 2\right| < \varepsilon$，只需 $\frac{6}{n} < \varepsilon$，即 $n > \frac{6}{\varepsilon}$。
提示：注意这里用的是充分条件，即只要 $\frac{6}{n} < \varepsilon$ 成立，原不等式就成立。
步骤 4/5
目标：选取N
取 $N = \left[\frac{6}{\varepsilon}\right] + 2$，其中 $[\cdot]$ 表示取整函数。这样保证 $N \geq 2$ 且 $N > \frac{6}{\varepsilon}$。
提示：取整后加2是为了确保 $N$ 足够大且满足 $n \geq 2$ 的条件。
步骤 5/5
目标：验证极限定义
当 $n > N$ 时，有 $n > \frac{6}{\varepsilon}$，从而 $\frac{6}{n} < \varepsilon$，因此：
$$\left|\frac{2n^2+1}{n^2-1} - 2\right| \leq \frac{6}{n} < \varepsilon.$$
由极限定义，$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+1}{n^2-1} = 2$。
公式：极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义：$\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}$，当 $n>N$ 时，$|a_n - A| < \varepsilon$
提示：验证时注意 $n$ 是自然数，且 $N$ 的选取要使得 $n>N$ 时所有条件成立。
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