上册 1.1 数列极限 第2题
📝 题目
2．设 $a_{n} \geqslant 0(n=1,2,3, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。
💡 答案解析
解题过程：
由保不等式性可得 $a \geqslant 0$ ．
若 $a=0$ ，由 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $a_{n}<\varepsilon^{2}$ ，从而
$$
\left|\sqrt{a_{n}}-0\right|<\varepsilon .
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ ．
若 $a>0$ ，由 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\sqrt{a} \varepsilon$ ．从而
$$
\left|\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a}\right|=\frac{\left|a_{n}-a\right|}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a}} \leqslant \frac{\left|a_{n}-a\right|}{\sqrt{a}}<\varepsilon .
$$
于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定极限a的非负性
由于 $a_n \geq 0$ 且 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，由极限的保不等式性可知 $a \geq 0$。
提示：注意保不等式性要求数列非负，极限非负。
步骤 2/7
目标：分情况讨论：a=0的情况
若 $a=0$，则 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $a_n < \varepsilon^2$。
提示：注意 $\varepsilon$ 是任意正数，这里取 $\varepsilon^2$ 是为了后续开方。
步骤 3/7
目标：证明a=0时结论成立
由 $a_n < \varepsilon^2$ 得 $\sqrt{a_n} < \varepsilon$，即 $|\sqrt{a_n} - 0| < \varepsilon$，因此 $\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n} = 0 = \sqrt{a}$。
提示：注意 $\sqrt{a_n} \geq 0$，绝对值可直接去掉。
步骤 4/7
目标：分情况讨论：a>0的情况
若 $a > 0$，则 $\sqrt{a} > 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，由 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \sqrt{a} \, \varepsilon$。
提示：这里 $\varepsilon$ 是任意正数，取 $\sqrt{a} \, \varepsilon$ 是为了后续放缩。
步骤 5/7
目标：利用恒等变形和放缩
考虑 $|\sqrt{a_n} - \sqrt{a}| = \frac{|a_n - a|}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a}}$。由于 $\sqrt{a_n} \geq 0$，分母 $\sqrt{a_n} + \sqrt{a} \geq \sqrt{a}$，因此 $|\sqrt{a_n} - \sqrt{a}| \leq \frac{|a_n - a|}{\sqrt{a}}$。
公式：$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
提示：注意分母不能为零，这里 $a>0$ 保证 $\sqrt{a}>0$。
步骤 6/7
目标：完成a>0时的证明
由 $|a_n - a| < \sqrt{a} \, \varepsilon$ 得 $|\sqrt{a_n} - \sqrt{a}| \leq \frac{|a_n - a|}{\sqrt{a}} < \varepsilon$，因此 $\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n} = \sqrt{a}$。
提示：注意放缩方向：分母缩小，分数值放大。
步骤 7/7
目标：综合结论
综上，无论 $a=0$ 还是 $a>0$，都有 $\lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n} = \sqrt{a}$。
提示：注意 $a$ 非负，无需考虑 $a<0$ 的情况。
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