上册 1.1 数列极限 第4题
📝 题目
4．证明下列结论或求极限．
（1）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$ 。
（2）设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}$ 。
💡 答案解析
解题过程：
（1）令 $x_{n}=a+\alpha_{n}, y_{n}=b+\beta_{n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow x} \beta_{n}=0$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\beta_{1}+\beta_{2}+\cdots+\beta_{n}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|\beta_{1}\right|+\left|\beta_{2}\right|+\cdots+\left|\beta_{n}\right|}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\beta_{n}\right|=0, \\
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0 .
\end{aligned}
$$
又因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0$ ，所以 $\left\{\alpha_{n}\right\}$ 有界，即 $\exists M>0, \forall n \in N^{+}$，有 $\left|\alpha_{n}\right| \leqslant M$ 。于是
$$
0<\frac{\left|\alpha_{1} \beta_{n}+\alpha_{2} \beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n} \beta_{1}\right|}{n} \leqslant M \frac{\left|\beta_{n}\right|+\left|\beta_{n-1}\right|+\cdots+\left|\beta_{1}\right|}{n} .
$$
因此 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|\alpha_{\mathrm{i}} \beta_{n}+\alpha_{2} \beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n} \beta_{1}\right|}{n}=0$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n} \\
& =\lim _{n \rightarrow x} \frac{\left(a+\alpha_{1}\right)\left(b+\beta_{n}\right)+\left(a+\alpha_{2}\right)\left(b+\beta_{n-1}\right)+\cdots+\left(a+\alpha_{n}\right)\left(b+\beta_{1}\right)}{n} \\
& =\lim _{n \rightarrow x}\left(a b+a \frac{\beta_{n}+\beta_{n-1}+\cdots+\beta_{1}}{n}+b \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}}{n}+\frac{\alpha_{1} \beta_{n}+\alpha_{2} \beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n} \beta_{1}}{n}\right)=a b .
\end{aligned}
$$
（2）由 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow x} y_{n}=b$ 知， $\lim _{n \rightarrow x} x_{2 n-1}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{2 n}=b$ ．由（1）得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}=a b
$$
注：本题的变换具有一般性，常用这种变换将一般情况归结为特殊情况．例如本例，原来是 ＂已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$＂，经变换后，归结为＂已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=0$ ，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\alpha_{1} \beta_{n}+\alpha_{2} \beta_{n-1}+\cdots+\alpha_{n} \beta_{1}}{n}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入无穷小量
令 $x_n = a + \alpha_n$, $y_n = b + \beta_n$，则 $\lim_{n\to\infty} \alpha_n = 0$, $\lim_{n\to\infty} \beta_n = 0$。
提示：注意将极限转化为无穷小量，便于后续处理。
步骤 2/6
目标：证明无穷小量的算术平均极限为零
由 $\lim_{n\to\infty} \beta_n = 0$ 得 $\lim_{n\to\infty} \frac{\beta_1+\cdots+\beta_n}{n} = 0$ 和 $\lim_{n\to\infty} \frac{|\beta_1|+\cdots+|\beta_n|}{n} = 0$。同理 $\lim_{n\to\infty} \frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n} = 0$。
公式：若 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，则 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_1+\cdots+a_n}{n} = 0$
提示：利用极限定义或Stolz定理，注意绝对值情况。
步骤 3/6
目标：估计交叉项和的绝对值
由于 $\{\alpha_n\}$ 收敛，故有界，存在 $M>0$ 使得 $|\alpha_n| \leq M$。于是 $$0 \leq \frac{|\alpha_1\beta_n+\alpha_2\beta_{n-1}+\cdots+\alpha_n\beta_1|}{n} \leq M \frac{|\beta_n|+|\beta_{n-1}|+\cdots+|\beta_1|}{n}.$$ 由夹逼定理得 $\lim_{n\to\infty} \frac{|\alpha_1\beta_n+\cdots+\alpha_n\beta_1|}{n}=0$。
公式：三角不等式：$|\sum a_i b_i| \leq \sum |a_i||b_i|$
提示：注意有界性的使用，以及夹逼定理的条件。
步骤 4/6
目标：展开原表达式并分解
将 $x_i y_{n+1-i}$ 展开：$$\frac{x_1 y_n + \cdots + x_n y_1}{n} = \frac{(a+\alpha_1)(b+\beta_n)+\cdots+(a+\alpha_n)(b+\beta_1)}{n} = ab + a\frac{\beta_1+\cdots+\beta_n}{n} + b\frac{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}{n} + \frac{\alpha_1\beta_n+\cdots+\alpha_n\beta_1}{n}.$$
提示：注意下标对应关系：$y_n$ 与 $\beta_n$ 对应，但求和时下标顺序相反。
步骤 5/6
目标：取极限得结论（1）
由前几步结果，每一项的极限分别为：$ab$ 为常数，第二、三项极限为 $a\cdot0=0$ 和 $b\cdot0=0$，第四项极限为 $0$。因此原极限为 $ab$。
公式：极限的四则运算法则
提示：注意极限存在的条件，各项极限存在才能相加。
步骤 6/6
目标：处理第（2）问：转化为第（1）问形式
令 $u_n = x_{2n-1}$, $v_n = y_{2n}$，则 $\lim u_n = a$, $\lim v_n = b$。所求极限为 $$\lim_{n\to\infty} \frac{u_1 v_n + u_2 v_{n-1} + \cdots + u_n v_1}{n}.$$ 由（1）结论得极限为 $ab$。
提示：注意下标变换：$x_1$ 对应 $u_1$，$x_3$ 对应 $u_2$，$y_{2n}$ 对应 $v_n$，$y_2$ 对应 $v_1$。
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