上册 1.1 数列极限 第5题
📝 题目
5．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，且 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 。证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$（几何平均值收敛公式）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，则由极限的不等式性质得 $a \geqslant 0$ ．
（1）若 $a>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \ln a_{n}=\ln a, \lim _{n \rightarrow x} \frac{1}{n}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}\right)=\ln a$ ．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}\right)}}=\mathrm{e}^{\ln a}=a
$$
（2）若 $a=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln a_{n}=-\infty$ ．因此 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}\right)=-\infty$ ．于是
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{n}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{n}\right)}=0
$$
注：当 $a=0$ 时，也可直接用定义证明．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设极限并分析a的范围
设 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。由于 $a_n > 0$，由极限的不等式性质可知 $a \geq 0$。
提示：注意极限保号性：若 $a_n > 0$，则极限 $a \geq 0$，但 $a$ 可能为0。
步骤 2/6
目标：分情况讨论：a>0
当 $a > 0$ 时，$\ln a_n$ 收敛于 $\ln a$。由数列极限的算术平均性质，有 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k = \ln a$。
公式：若 $\lim_{n \to \infty} x_n = x$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k = x$。
提示：算术平均性质要求数列收敛，这里 $\ln a_n$ 收敛于 $\ln a$。
步骤 3/6
目标：利用指数函数求几何平均极限（a>0）
由于 $\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right)$，且指数函数连续，所以 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \exp\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right) = e^{\ln a} = a$。
公式：$\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k} = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right)$
提示：指数函数连续，所以极限可以交换顺序。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：a=0
当 $a = 0$ 时，$\ln a_n \to -\infty$。由算术平均的性质，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \to -\infty$。
公式：若 $x_n \to -\infty$，则 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \to -\infty$。
提示：注意 $\ln a_n$ 趋于负无穷，算术平均也趋于负无穷。
步骤 5/6
目标：利用指数函数求几何平均极限（a=0）
于是 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \lim_{n \to \infty} \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln a_k \right) = 0$，因为指数函数在负无穷处极限为0。
公式：$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
提示：注意 $e^{-\infty}=0$，但严格来说需要极限定义。
步骤 6/6
目标：综合结论
综上，无论 $a>0$ 还是 $a=0$，都有 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = a = \lim_{n \to \infty} a_n$，即几何平均值的极限等于原数列的极限。
提示：注意 $a$ 可能为0，但结论依然成立。
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