上册 1.1 数列极限 第6题
📝 题目
6．证明：若 $x_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．
💡 答案解析
解题过程：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt[n]{x_{1}} \cdot \sqrt[n]{\frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{3}}{x_{2}} \cdots \cdot \cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot \frac{x_{3}}{x_{2}} \cdots \cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} .
$$
（1）方法 1：设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n^{n}}{n!}$ ，则
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e} .
$$
于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\mathrm{e}$ ．
方法2：因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \ln \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=-1$ ，所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\ln \sqrt{\frac{n!}{n}}}=\mathrm{e}^{-1}
$$
故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\mathrm{e}$ ．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}=\mathbf{e}
$$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \frac{\ln n}{n}=\mathrm{e} \cdot 0=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha-1}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-1}, \alpha=1, \\ 0, \alpha>1, \\ \infty, \alpha<1 .\end{array}\right.$
（4）方法 $\displaystyle 1: \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n}!} \frac{1}{n}=\mathrm{e} \cdot 0=0$ ．
方法 2：令 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限等式
设 $x_n>0$ 且 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=L$ 存在。考虑 $\sqrt[n]{x_n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot \frac{x_2}{x_1} \cdot \frac{x_3}{x_2} \cdots \frac{x_n}{x_{n-1}}}$。由于 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_1}=1$，且 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{x_2}{x_1} \cdots \frac{x_n}{x_{n-1}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{x_{n-1}} = L$（由Cauchy第一极限定理），故 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n}=L$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$
提示：注意 $x_n>0$ 保证根号有意义；使用Cauchy第一极限定理时需确认极限存在。
步骤 2/6
目标：求极限 (1) 第一部分：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$
令 $x_n = \frac{n^n}{n!}$，则 $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$。由已证结论，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n} = e$，而 $\sqrt[n]{x_n} = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$，故 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$
提示：构造 $x_n$ 时注意指数与阶乘的对应关系。
步骤 3/6
目标：求极限 (1) 第二部分：$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$
注意到 $\frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}} = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$。由前一部分，$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \to e$，而 $\sqrt[n]{n+1} \to 1$，故极限为 $e$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1}=1$
提示：拆分乘积时注意极限运算法则的适用条件。
步骤 4/6
目标：求极限 (2)：$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$
将原式写为 $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \cdot \frac{\ln n}{n}$。由 (1) 知 $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \to e$，而 $\frac{\ln n}{n} \to 0$，故极限为 $e \cdot 0 = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}=0$
提示：注意 $\ln n$ 增长慢于 $n$，极限为0。
步骤 5/6
目标：求极限 (3)：$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^\alpha}$
由 (1) 知 $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \to e^{-1}$，故 $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n^\alpha} = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}}$。讨论：当 $\alpha=1$ 时，极限为 $e^{-1}$；当 $\alpha>1$ 时，$n^{\alpha-1}\to\infty$，极限为0；当 $\alpha<1$ 时，$n^{\alpha-1}\to 0$，极限为 $\infty$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{-1}$
提示：注意 $\alpha$ 的分类讨论，$\infty$ 表示极限不存在（发散）。
步骤 6/6
目标：求极限 (4)：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$
方法1：$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \cdot \frac{1}{n} \to e \cdot 0 = 0$。方法2：令 $a_n = \frac{1}{n}$，则 $\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{\frac{1}{a_1 a_2 \cdots a_n}}$，故 $\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$。由 $a_n \to 0$ 及算术-几何平均极限性质，得极限为0。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \lim_{n\to\infty} a_n$（若极限存在）
提示：方法2利用了 $a_n$ 的极限为0，注意该性质要求 $a_n>0$。
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