上册 1.1 数列极限 第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$（或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=l>1$ ），证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=q$ 。当 $n$ 充分大时，有 $a_{n} \leqslant q^{n}$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．
方法 2：因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$ ，由保号性，对 $q0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}N$ 时，有
$$
0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知数列 $a_n > 0$，且极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q < 1$（或等价地 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = l > 1$）。需要证明 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
提示：注意条件是正项数列，且比值极限小于1，这暗示数列最终递减且趋于0。
步骤 2/7
目标：方法1：利用根值判别法（柯西判别法）
由已知 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q < 1$，根据极限的性质，有 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q$。因此，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\sqrt[n]{a_n} < r$，其中 $q < r < 1$，从而 $a_n < r^n$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$（当极限存在时）
提示：注意根值判别法要求极限存在，这里由比值极限存在可推出根值极限存在且相等。
步骤 3/7
目标：方法1：利用级数收敛性
由于 $a_n < r^n$ 且 $0 < r < 1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ 收敛（几何级数）。由比较判别法，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。级数收敛的必要条件是通项趋于0，故 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
公式：级数收敛的必要条件：$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
提示：注意这里使用了比较判别法，需要确保 $a_n$ 与 $r^n$ 的比较关系成立。
步骤 4/7
目标：方法2：利用比值极限的保号性
由 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q < 1$，取 $r$ 满足 $q < r < 1$。根据极限的保号性，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} < r$。
提示：保号性：若极限小于1，则从某项起比值小于某个介于极限和1之间的数。
步骤 5/7
目标：方法2：递推不等式
当 $n > N$ 时，由 $\frac{a_{n+1}}{a_n} < r$ 得 $a_{n+1} < r a_n$。反复应用此不等式，可得 $a_{n+1} < r a_n < r^2 a_{n-1} < \cdots < r^{n-N} a_{N+1}$。
公式：$a_{n+1} < r^{n-N} a_{N+1}$
提示：注意递推的起点是 $n = N+1$，最终得到 $a_{n+1}$ 的上界。
步骤 6/7
目标：方法2：夹逼定理求极限
由于 $0 < a_{n+1} < r^{n-N} a_{N+1}$，且 $0 < r < 1$，故 $\lim_{n \to \infty} r^{n-N} a_{N+1} = 0$。由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = 0$，从而 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
公式：夹逼定理：若 $0 \le b_n \le c_n$ 且 $\lim c_n = 0$，则 $\lim b_n = 0$
提示：注意 $a_n$ 为正，所以下界为0。
步骤 7/7
目标：总结两种方法
方法1通过根值判别法将问题转化为级数收敛，方法2直接利用比值不等式和夹逼定理。两种方法均依赖于比值极限小于1的条件。
提示：两种方法本质相同，都是利用等比数列的压缩性。
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