上册 1.1 数列极限 第8题
📝 题目
8．证明下列极限．
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：当 $a>1$ 时，令 $\sqrt[n]{a}=1+h_{n}\left(h_{n}>0\right)$ ，则 $\displaystyle a=\left(1+h_{n}\right)^{n} \geqslant 1+n h_{n}=1+n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$ ．于是
$$
01, \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{b}}=1$ ．
方法 2：记 $x_{1}=a, x_{n}=1, n=2,3, \cdots$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ，从而
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots \cdots x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1
$$
方法3： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\ln \sqrt[n]{a}}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[5]{a}}=\mathrm{e}^{\lim _{\mathrm{em}} \frac{\ln a}{n}}=\mathrm{e}^{0}=1$ ．
（2）方法 $\displaystyle 1: \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \cdot \frac{n}{n-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n-1}=1$ ．
方法 2：由于 $\displaystyle 1 \leqslant \sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n} \sqrt{n} \cdot 1 \cdots 1} \leqslant \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}+(n-2)}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n}+(n-2)}{n}=1$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$.
方法 3：令 $\sqrt[n]{n}=1+h_{n}\left(h_{n}>0\right)$ ，则 $\displaystyle n=\left(1+h_{n}\right)^{n} \geqslant \frac{n(n-1)}{2} h_{n}^{2}$ ，即 $\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明当a>1时的情况
设 $a>1$，令 $\sqrt[n]{a}=1+h_n$，其中 $h_n>0$。由二项式定理，$a=(1+h_n)^n \geq 1+nh_n$，因此 $0 < h_n \leq \frac{a-1}{n}$。由夹逼定理，$\lim_{n\to\infty} h_n = 0$，故 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1$。
公式：$(1+h_n)^n \geq 1+nh_n$
提示：注意 $h_n>0$ 的设定，以及不等式方向。
步骤 2/6
目标：证明当a=1时的情况
当 $a=1$ 时，$\sqrt[n]{1}=1$，显然极限为1。
提示：直接代入即可。
步骤 3/6
目标：证明当0
当 $01$，则 $\sqrt[n]{a}=1/\sqrt[n]{b}$。由a>1时的结论，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{b}=1$，因此 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1$。
公式：$\sqrt[n]{a}=1/\sqrt[n]{b}$
提示：注意倒数运算的极限性质。
步骤 4/6
目标：证明极限 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ 方法一：利用均值不等式
注意到 $\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{1 \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdots \frac{n}{n-1}}$。由几何-算术平均不等式，$\sqrt[n]{n} \leq \frac{1+\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{n}{n-1}}{n}$。但该和不易计算，另一种方法：考虑 $\sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot 1 \cdots 1}$（共n个因子），由均值不等式，$1 \leq \sqrt[n]{n} \leq \frac{2\sqrt{n}+(n-2)}{n} = 1 + \frac{2}{\sqrt{n}} - \frac{2}{n}$。由夹逼定理，极限为1。
公式：$\sqrt[n]{n} \leq \frac{2\sqrt{n}+(n-2)}{n}$
提示：注意构造合适的因子个数，使得不等式成立。
步骤 5/6
目标：证明极限 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ 方法二：二项式定理
令 $\sqrt[n]{n}=1+h_n$，$h_n>0$。则 $n=(1+h_n)^n \geq \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$，解得 $0 < h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}}$。由夹逼定理，$\lim_{n\to\infty} h_n=0$，故极限为1。
公式：$(1+h_n)^n \geq \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$
提示：注意二项式展开取前两项或前三项，这里取前三项得到二次项。
步骤 6/6
目标：证明极限 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ 方法三：转化为函数极限
考虑函数 $f(x)=x^{1/x}$，$x>0$。则 $\lim_{x\to+\infty} \ln f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，故 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=1$。由海涅定理，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}=0$
提示：注意函数极限与数列极限的关系，需验证函数极限存在。
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