上册 1.1 数列极限 第9题
📝 题目
9．设 $a>0, a_{n}>0$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4+\frac{1}{2 n}}$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+b} .(b=2$ ：南京航空 2011；$b=1:$ 山东大学，计量学院 2009）
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{k}+k^{n}} .(k=2$ ：山西师大 2008 ；$k=3$ ：哈师大 2008）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，则当 $n$ 充分大时，有 $\displaystyle \frac{1}{2} a
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明极限性质
已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\frac{1}{2}a < a_n < \frac{3}{2}a$。于是 $\sqrt[n]{\frac{1}{2}a} < \sqrt[n]{a_n} < \sqrt[n]{\frac{3}{2}a}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}a} = 1$ 且 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3}{2}a} = 1$，由夹逼定理得 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1$。
公式：夹逼定理：若 $x_n \leq y_n \leq z_n$ 且 $\lim x_n = \lim z_n = L$，则 $\lim y_n = L$。
提示：注意 $a>0$ 保证了下界为正，避免取对数时出现问题。
步骤 2/5
目标：求极限（1）
令 $a_n = 4 + \frac{1}{2n}$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 4 > 0$。由已证性质，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4 + \frac{1}{2n}} = 1$。
提示：直接应用性质，无需额外计算。
步骤 3/5
目标：求极限（2）
将 $\sqrt[n]{n+b}$ 改写为 $\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{1+\frac{b}{n}}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$（常用极限），且 $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{b}{n}) = 1$，由性质得 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+\frac{b}{n}} = 1$。因此原极限 $= 1 \cdot 1 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
提示：注意 $\sqrt[n]{n+b} \neq \sqrt[n]{n} + \sqrt[n]{b}$，必须分解为乘积形式。
步骤 4/5
目标：求极限（3）
令 $a_n = 1 - \frac{1}{n}$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 1 > 0$。由已证性质，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 - \frac{1}{n}} = 1$。
提示：注意 $1-\frac{1}{n}$ 在 $n$ 充分大时为正，满足性质条件。
步骤 5/5
目标：求极限（4）
提取因子 $k^n$：$\sqrt[n]{n^k + k^n} = k \sqrt[n]{1 + \frac{n^k}{k^n}}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{k^n} = 0$（指数增长快于幂函数），故 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{n^k}{k^n}) = 1$。由性质得 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + \frac{n^k}{k^n}} = 1$，因此原极限 $= k \cdot 1 = k$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{k^n} = 0$（$k>1$）
提示：注意 $k$ 是常数且 $k>1$，若 $k=1$ 则极限不同。
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