上册 1.1 数列极限 第10题
📝 题目
10．求下列极限．
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}, a_{k}>0, k=1,2, \cdots, m$ ．
特例：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ ，其中 $a, b>0$ ．（南京大学 2009／2003（ $b=1$ ），华东师大 2006，暨南大学 2010，苏州大学 2005，扬州大学 2005，南京理工 2001；$b=1$ ：南京师大 2000 ，四川师大 2013，陕西师大 2005 ，北京大学 1999／1998；$b=2006, a=2005$ ：兰州大学 2006）
（2） $\lim _{n \rightarrow x} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ ，其中 $a, b, c>0$ ．（中科院 2000／2003，辽宁大学 2004／2005，扬州大学 2005，湘潭大学2009，哈师大 2006（ $a=1, b=2, c=3$ ），山东大学 2002（ $a=3, b=5, c=7$ ））
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $A=\max \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\}$ ，则 $A \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}} \leqslant \sqrt[n]{m} A$ 。由 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{m}=1$ 及两边夹定理得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}=A
$$
由此得：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=M=\max \{a, b\}$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}=\max \{a, b, c\}$ ；
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}=5$ ．
（2）由于 $1<\sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}=\sqrt[n]{1+\cos ^{2} n}<\sqrt[n]{2}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{2}=1$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定最大值
设 $A = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$，则对于所有 $k$，有 $a_k \leq A$，因此 $a_k^n \leq A^n$。
提示：注意 $A$ 是最大值，不是最小值。
步骤 2/8
目标：建立下界
由于 $a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n \geq A^n$，所以 $\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} \geq \sqrt[n]{A^n} = A$。
提示：下界直接由最大值项得到。
步骤 3/8
目标：建立上界
由于 $a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n \leq m A^n$，所以 $\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} \leq \sqrt[n]{m A^n} = \sqrt[n]{m} \cdot A$。
提示：上界利用了 $m$ 项求和，注意 $\sqrt[n]{m}$ 的极限。
步骤 4/8
目标：求极限并应用夹逼定理
计算 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} m^{1/n} = 1$。由夹逼定理，$A \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} \leq A$，因此极限为 $A$。
公式：$\lim_{n \to \infty} m^{1/n} = 1$
提示：夹逼定理要求上下界极限相等。
步骤 5/8
目标：应用特例（1）
对于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$，$m=2$，$A = \max\{a,b\}$，故极限为 $\max\{a,b\}$。
提示：注意 $a,b>0$。
步骤 6/8
目标：应用特例（2）
对于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n + c^n}$，$m=3$，$A = \max\{a,b,c\}$，故极限为 $\max\{a,b,c\}$。
提示：三个数取最大值。
步骤 7/8
目标：应用特例（3）
对于 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+2^n+3^n+4^n+5^n}$，$A = \max\{1,2,3,4,5\}=5$，故极限为 $5$。
提示：注意常数项 $1=1^n$。
步骤 8/8
目标：求解第二个极限
化简 $\sin^2 n + 2\cos^2 n = \sin^2 n + \cos^2 n + \cos^2 n = 1 + \cos^2 n$。由于 $0 \leq \cos^2 n \leq 1$，所以 $1 \leq 1+\cos^2 n \leq 2$，从而 $1 \leq \sqrt[n]{1+\cos^2 n} \leq \sqrt[n]{2}$。又 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2}=1$，由夹逼定理得极限为 $1$。
公式：$\sin^2 n + \cos^2 n = 1$
提示：注意 $\cos^2 n$ 有界，且 $\sqrt[n]{2} \to 1$。
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