上册 1.1 数列极限 第11题
📝 题目
11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．．苏州大学 2012，华中师大 04 ，辽宁大学 2007，青岛理工 2010，安徽大学 2006，华中科技 2008）
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}$ ．
（6） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1 ：因 $\displaystyle (n!)^{\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt[n]{\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}} \cdot \sqrt[n]{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\mathrm{e}^{-1}$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}=1$ ．
方法 2：因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n!)}{n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{(n+1)^{2}-n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{2 n+1}=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}=1$ ．
方法 3：因 $\displaystyle 1 \leqslant(n!)^{\frac{1}{n^{2}}} \leqslant\left(n^{n}\right)^{\frac{1}{n^{2}}} \leqslant n^{\frac{1}{n}}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}=1$ ．
（2）方法 1：令 $\displaystyle a_{n}=\frac{2 n-1}{2 n}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1$ ，从而
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1
$$
方法 2：由 $\displaystyle \frac{1}{2 n} \leqslant \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdots \cdot \frac{2 n-1}{2 n-2} \cdot \frac{1}{2 n}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \cdot \cdot \frac{2 n-1}{2 n}<1$ 得
$$
\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{2} \cdot \sqrt[n]{n}} \leqslant \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdots 2 n}}<1
$$
由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{2} \cdot \sqrt[n]{n}}=1$ 得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}=1$ ．
（3）由于 $\displaystyle 1 \leqslant \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}} \leqslant \sqrt[n]{1+1+\cdots+1}=\sqrt[n]{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}=1$ ．
（4）由于 $\displaystyle \sqrt[n]{\sin 1} \leqslant \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}} \leqslant \sqrt[n]{n} \sqrt[n]{\sin 1}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1}=1$ ，所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}=1
$$
（5）由于 $\displaystyle 1 \leqslant \sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2006}}+\frac{1}{3^{2006}}+\cdots+\frac{1}{n^{2006}}} \leqslant \sqrt[n]{n}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}=1$ 。
（6）由于
所以
$$
\begin{gathered}
\sqrt[n]{\cos ^{2} 1} \leqslant \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n} \leqslant \sqrt[n]{n}, \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1}=1 \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}=1
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析极限形式
考虑极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}$。由于指数 $1/n^2$ 很小，猜测极限为1。
提示：注意指数是 $1/n^2$ 而不是 $1/n$，因此增长速度更慢。
步骤 2/8
目标：取对数转化为数列极限
令 $L = \lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}$，则 $\ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n!)}{n^2}$。
公式：$\ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n!)}{n^2}$
提示：取对数后极限形式变为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，可用 Stolz 定理。
步骤 3/8
目标：应用Stolz定理
由 Stolz 定理，$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n!)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln((n+1)!) - \ln(n!)}{(n+1)^2 - n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{2n+1} = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$
提示：Stolz 定理要求分母严格单调递增且趋于无穷。
步骤 4/8
目标：得出极限值
因此 $\ln L = 0$，即 $L = e^0 = 1$。
提示：注意 $e^0=1$。
步骤 5/8
目标：分析第二个极限
考虑 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}}$。令 $a_n = \frac{2n-1}{2n}$，则乘积为 $a_1 a_2 \cdots a_n$。
提示：注意 $a_n \to 1$。
步骤 6/8
目标：应用几何平均极限性质
由于 $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$，则 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = \lim_{n \to \infty} a_n = 1$。
公式：若 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$，则 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} = a$
提示：此性质要求 $a_n > 0$。
步骤 7/8
目标：分析第三个极限
考虑 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$。由于调和级数发散，但 $\sqrt[n]{n} \to 1$，且 $1 \leq \sqrt[n]{H_n} \leq \sqrt[n]{n}$，由夹逼定理得极限为1。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
提示：注意 $H_n \sim \ln n$，但 $\sqrt[n]{\ln n} \to 1$ 也成立。
步骤 8/8
目标：分析第四至第六个极限
类似地，对于 (4)(5)(6)，由于被开方数介于某个正数和 $n$ 之间，且 $\sqrt[n]{n} \to 1$，由夹逼定理得极限均为1。
提示：注意被开方数必须为正数，且下界为正数。
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