上册 1.1 数列极限 第12题
📝 题目
12．证明下列命题．
（1）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由确界定义，对 $\forall n, a_{n} \leqslant a$ ；对 $\forall \varepsilon>0, \exists a_{N_{1}}$ 使得 $a_{N_{1}}>a-\varepsilon$ 。于是当 $n \geqslant N_{1}$ 时，
$$
a-\varepsilon0, \exists N_{2}>0$ ，当 $n \geqslant N_{2}$ 时，有
$$
n^{\frac{1}{n}} a
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用上确界性质建立不等式
由 $a = \sup\{a_1, a_2, \dots\}$ 知，对所有 $k$ 有 $a_k \leq a$，且对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$ 使得 $a_{N_1} > a - \varepsilon$。于是当 $n \geq N_1$ 时，有 $a - \varepsilon < a_{N_1} \leq \sqrt[n]{a_{N_1}^n} \leq \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n a_k^n}$。同时，$\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n a_k^n} \leq \sqrt[n]{n a^n} = n^{1/n} a$。
公式：$\sqrt[n]{\sum_{k=1}^n a_k^n} \leq n^{1/n} a$
提示：注意 $a_{N_1}$ 是固定的，当 $n$ 增大时，$a_{N_1}$ 始终在求和项中，因此下界成立。
步骤 2/7
目标：利用极限 $\lim n^{1/n}=1$ 得到上界
由于 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1$，故 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} a = a$。对上述 $\varepsilon > 0$，存在 $N_2$，当 $n \geq N_2$ 时，$n^{1/n} a < a + \varepsilon$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1$
提示：注意 $n^{1/n}$ 单调递减趋于1，但这里只需极限存在。
步骤 3/7
目标：夹逼得到极限
取 $N = \max\{N_1, N_2\}$，则当 $n \geq N$ 时，有 $a - \varepsilon < \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n a_k^n} < a + \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^n a_k^n} = a$。
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里下界是 $a-\varepsilon$，上界是 $a+\varepsilon$，极限为 $a$。
步骤 4/7
目标：利用单调递减性建立不等式
由于 $\{a_n\}$ 单调递减非负，故 $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$。于是 $a_1^n \leq \sum_{k=1}^n a_k^n \leq n a_1^n$，开 $n$ 次方得 $a_1 \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k^n\right)^{1/n} \leq n^{1/n} a_1$。
公式：$a_1^n \leq \sum_{k=1}^n a_k^n \leq n a_1^n$
提示：注意左边是 $a_1^n$ 单独一项，右边是 $n$ 个 $a_1^n$ 的和。
步骤 5/7
目标：夹逼得到极限
由 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} a_1 = a_1$，结合夹逼定理，得 $\lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=1}^n a_k^n\right)^{1/n} = a_1$。
提示：注意这里 $a_1$ 是常数，极限就是 $a_1$。
步骤 6/7
目标：利用单调递增和极限建立不等式
由于 $\{a_n\}$ 非负单调增加且 $\lim a_n = a$，故 $a_n \leq a$ 对所有 $n$ 成立。于是 $a_n^n \leq \sum_{k=1}^n a_k^n \leq n a^n$，开 $n$ 次方得 $a_n \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k^n\right)^{1/n} \leq n^{1/n} a$。
公式：$a_n^n \leq \sum_{k=1}^n a_k^n \leq n a^n$
提示：注意下界是 $a_n$ 而不是 $a_1$，因为 $a_n$ 是最大项。
步骤 7/7
目标：利用极限 $\lim a_n = a$ 和 $\lim n^{1/n}=1$ 夹逼
由 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ 和 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} a = a$，根据夹逼定理，$\lim_{n\to\infty} \left(\sum_{k=1}^n a_k^n\right)^{1/n} = a$。
提示：注意 $a_n$ 趋于 $a$，但 $a_n$ 本身可能小于 $a$，下界趋于 $a$ 即可。
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