上册 1.1 数列极限 第14题
📝 题目
14．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．由定义得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
$$
特别地：若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i-1}{n}\right) \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。由此得
（1）方法 $\displaystyle 1: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\ln 2$ ．
方法 2：见题 40（2）．
（2）方法 1： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\ln 3$ ．
方法 2：因 $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}=\ln n+c+\varepsilon_{n}$ ，其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{n}=0$ ，故
$$
1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{3 n}=\ln 3 n+c+\varepsilon_{3 n} .
$$
于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\ln 3 n+c+\varepsilon_{2 n}\right)-\left(\ln n+c+\varepsilon_{n}\right)\right]=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\ln 3+\left(\varepsilon_{3 n}-\varepsilon_{n}\right)\right]=\ln 3$ ．
(3) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{p}=\int_{0}^{1} x^{p} \mathrm{~d} x=\frac{1}{p+1}$.
(4) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{4} \cdot \frac{n^{5}}{n^{\alpha}}=\int_{0}^{1} x^{4} \mathrm{~d} x \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{n^{\alpha}}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{5}, \alpha=5, \\ 0, \alpha>5, \\ +\infty, \alpha<5 .\end{array}\right.$
(5) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{4}$.
(6) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n} \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}=\frac{\pi}{2}$.
(7) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot-\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2} \ln 2$.
(8) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]=\lim _{n \rightarrow x} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{1+x}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}$.
(9) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}}=\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x=\left.\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right]\right|_{0} ^{1}=\ln (1+\sqrt{2})$.
(10) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$
$\displaystyle =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{4-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\left.\arcsin \frac{x}{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{6}$.
(11) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{n^{2}-k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \mathrm{~d} \sin t$
$$
=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 t}{2} \mathrm{~d} t=\frac{\pi}{4} .
$$
(12) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right) \sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3}$.
(13) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)=\int_{0}^{1} \sqrt{1+x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{3}(1+x)^{3,2}\right|_{0} ^{1}=\frac{4}{3} \sqrt{2}-\frac{2}{3}$.
(14) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right)$
$\displaystyle =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{(i-1) \pi}{n}=\int_{0}^{1} \sin x \pi \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{\pi} \cos \pi x\right|_{0} ^{1}=\frac{2}{\pi}$.
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\sin \pi x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin t} \mathrm{~d} t=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin t} \mathrm{~d} t$
$$
\xlongequal{u=\tan \frac{1}{2}} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\frac{2 u}{1+u^{2}}} \frac{2}{1+u^{2}} \mathrm{~d} u=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+u)^{2}} \mathrm{~d} u=\left.\frac{4}{\pi}\left(-\frac{1}{1+u}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{2}{\pi} .
$$
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}=\pi \int_{0}^{1} \frac{\cos \pi x}{2+\sin \pi x} \mathrm{~d} x$
$$
=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos t}{2+\sin t} \mathrm{~d} t=\left.\ln (2+\sin t)\right|_{0} ^{\pi}=0 .
$$
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\left.\left(x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}\right)\right|_{0} ^{1}=1$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right]=\left.\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \xlongequal{x=u^{2}}\left(2 u \mathrm{e}^{u}\right)\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{u} \mathrm{~d} u=2 \mathrm{e}-2(\mathrm{e}-1)=2$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x=\left.\arctan \mathrm{e}^{x}\right|_{0} ^{1}=\arctan \mathrm{e}-\frac{\pi}{4}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}=\int_{0}^{1} \ln \pi x \mathrm{~d} x=\ln \pi+\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=\ln \pi-1$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$
$$
=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}=\int_{0}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{3}[2 \sqrt{2}-1] .
$$
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]=\mathrm{e}^{-1}+\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{-1}+\frac{\pi}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明一般公式
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 可积。将区间 $[a,b]$ 等分为 $n$ 份，取右端点，有
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\int_a^b f(x)\,dx.
\]
两边除以 $b-a$ 得
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
\]
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
提示：注意 $\frac{b-a}{n}$ 是小区间长度，$f$ 在右端点取值。
步骤 2/8
目标：将极限转化为定积分
对于每个具体极限，将其改写为 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right)$ 的形式，其中 $g$ 是某个函数。例如 (1) 中，
\[
\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}.
\]
于是极限等于 $\int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx=\ln 2$。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 g(x)\,dx
提示：注意求和指标 $k$ 从1到 $n$，对应 $x_k=k/n$，区间 $[0,1]$。
步骤 3/8
目标：处理不同区间长度
当求和项数不是 $n$ 时，需调整。例如 (2) 中 $k$ 从1到 $2n$，可写为
\[
\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to\int_0^2\frac{dx}{1+x}=\ln 3.
\]
又如 (6) 中 $k$ 从1到 $n^2$，极限为 $\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\alpha n} g\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^\alpha g(x)\,dx
提示：注意积分上限与求和项数对应。
步骤 4/8
目标：处理幂次和多项式
对于 (3) 和 (4)，将分子写成 $\sum k^p$，则
\[
\frac{1^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^p\to\int_0^1 x^p\,dx=\frac{1}{p+1}.
\]
(4) 中需比较 $\alpha$ 与 $5$ 的大小，因为 $\frac{1}{n}\sum (k/n)^4\to 1/5$，乘以 $n^5/n^\alpha$ 得极限为 $1/5$ 当 $\alpha=5$，$0$ 当 $\alpha>5$，$+\infty$ 当 $\alpha<5$。
公式：\int_0^1 x^p\,dx=\frac{1}{p+1}
提示：注意 $p>0$，且当 $\alpha$ 不同时极限不同。
步骤 5/8
目标：处理根号和三角函数
例如 (9) 中 $\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{1+(k/n)^2}}$，极限为 $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt{2})$。
(14) 中 $\frac{1}{n}\sum\sin\frac{k\pi}{n}\to\int_0^1 \sin(\pi x)\,dx=\frac{2}{\pi}$。
公式：\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\big|_0^1
提示：注意三角函数的积分公式，以及 $\sin(\pi x)$ 的积分。
步骤 6/8
目标：处理复杂被积函数
例如 (15) 中 $\frac{1}{n}\sum\frac{1}{1+\sin\frac{k-1}{n}\pi}\to\int_0^1\frac{dx}{1+\sin\pi x}$，通过换元 $t=\pi x$ 和万能公式 $u=\tan(t/2)$ 计算得 $\frac{2}{\pi}$。
(16) 中 $\sin\frac{\pi}{n}\sum\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{2+\sin\frac{k\pi}{n}}\approx\frac{\pi}{n}\sum\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{2+\sin\frac{k\pi}{n}}\to\pi\int_0^1\frac{\cos\pi x}{2+\sin\pi x}\,dx=0$。
公式：\int_0^1\frac{dx}{1+\sin\pi x}=\frac{2}{\pi}
提示：注意 $\sin\frac{\pi}{n}\sim\frac{\pi}{n}$，以及万能代换的使用。
步骤 7/8
目标：处理指数和对数
例如 (17) 中 $\frac{1}{n^2}\sum k e^{k/n}=\frac{1}{n}\sum \frac{k}{n}e^{k/n}\to\int_0^1 x e^x\,dx=1$。
(20) 中 $\frac{1}{n}\sum\ln\frac{k\pi}{n}\to\int_0^1\ln(\pi x)\,dx=\ln\pi-1$。
公式：\int_0^1 x e^x\,dx=1,\quad \int_0^1\ln x\,dx=-1
提示：注意 $\ln(\pi x)=\ln\pi+\ln x$，积分时分开。
步骤 8/8
目标：综合应用
例如 (22) 中极限由三部分组成：$\left(\frac{n-1}{n}\right)^n\to e^{-1}$，$\frac{\sin n}{n}\to 0$，以及 $\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}\to\frac{\pi}{4}$，故总和为 $e^{-1}+\frac{\pi}{4}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1},\quad \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}
提示：注意多个极限相加时，每个极限需单独计算。
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