上册 1.1 数列极限 第15题
📝 题目
15．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上．Riemann 可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界．于是 $\exists M>0$ 使 $\forall x \in[0,1]$ 有 $|f(x)| \leqslant M$ ．所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)=0 .
$$
因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$ ，所以 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 与 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 4 \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$ 等价且极限相等．由定积分的定义，得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)=4 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2 \sqrt{3}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用有界性估计函数值
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界。因此存在常数 $M>0$，使得对任意 $x \in [0,1]$，有 $|f(x)| \leq M$。于是对于每个 $i$，有 $\left|\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}$，从而当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \to 0$。
提示：注意：Riemann可积函数必有界，这是后续等价无穷小替换的基础。
步骤 2/4
目标：应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$。由于 $\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \to 0$（$n \to \infty$），因此 $\ln\left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right) \sim \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$。从而和式 $\sum_{i=1}^n 4 \ln\left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 与 $\sum_{i=1}^n 4 \cdot \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$ 是等价无穷小，极限相等。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$
提示：等价无穷小替换需验证变量趋于0，这里每个项都趋于0，但和式极限需整体考虑，需注意替换的合理性。
步骤 3/4
目标：转化为定积分形式
考虑极限 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n 4 \cdot \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$。根据定积分的定义，将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 份，取右端点 $\frac{i}{n}$ 的函数值，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$。因此原极限等于 $4 \int_0^1 f(x) \, dx$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$
提示：注意定积分定义中，$\frac{1}{n}$ 是小区间长度，$f(i/n)$ 是函数值，这里系数4是常数，可直接提出。
步骤 4/4
目标：代入已知积分值
已知 $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得 $4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。因此所求极限为 $2\sqrt{3}$。
提示：计算时注意系数4与分数相乘的结果。
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